在
中，
，
为
延长线上一点，点
为线段
，
的垂直平分线的交点，连接
，
，
．
时，则
______°；
(2)当
时，
①如图2，连接
，判断
的形状，并证明；
②如图3，直线
与交于点
，满足
．
为直线上一动点．当
的值最大时，用等式表示
，
与
之间的数量关系为______，并证明．
中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
时，则______°；(2)当
时，①如图2，连接
，判断的形状，并证明；②如图3，直线
与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
21-22八年级上·北京海淀·期末 查看更多[17]
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更新时间：2023-01-30 20:37:14
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图将沿线段翻折至
处，延长、
（点F在
内部）．
(1)请直接写出
、
与
的数量关系为__________；
(2)若
平分，
平分
．点F在内部（如图②），证明：
．
(3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即
，
，射线和射线相交于点O．请直接写出与
的数量关系：__________．
沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．
(1)请直接写出
、与的数量关系为__________；(2)若
平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．(3)若射线
、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】【问题初探】
（1）在张老师的课堂上，正引导学生证明“三角形内角和定理”，如图1，已知：．求证：
，结合之前拼摆的实践操作经验，学生们多用于下列两种证明思路：
①如图2，延长到，过点
作射线
，相当于把，
都移到了顶点的位置，利用图形特点获得，，
的数量关系；
②如图3，过点
作直线
，相当于把，都移到了顶点的位䈯，再利用图形特点获得，，的数量关系；
请你选择上述的一种证明思路，并写出证明过程．
【类比分析】
（2）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，两种解题思路都利用了“平行线”的等角转化的功能；为了帮助学生更好地感悟转化思想，将图3进行了变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，已知，过点作直线，
为线段上一点，连接
，
，若
，
，
，求
的度数．
【学以致用】
（3）如图5，
，
，
，若
，
，
，请你判断
，
，
三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）在张老师的课堂上，正引导学生证明“三角形内角和定理”，如图1，已知：
．求证：，结合之前拼摆的实践操作经验，学生们多用于下列两种证明思路：①如图2，延长
到，过点作射线，相当于把，都移到了顶点的位置，利用图形特点获得，，的数量关系；②如图3，过点
作直线，相当于把，都移到了顶点的位䈯，再利用图形特点获得，，的数量关系；请你选择上述的一种证明思路，并写出证明过程．
【类比分析】
（2）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，两种解题思路都利用了“平行线”的等角转化的功能；为了帮助学生更好地感悟转化思想，将图3进行了变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，已知
，过点作直线，为线段上一点，连接，，若，，，求的度数．【学以致用】
（3）如图5，
，，，若，，，请你判断，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐3】在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是 ，∠BDC的度数为 ．
（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．
（3）如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数．
（1）如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是 ，∠BDC的度数为 ．
（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．
（3）如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】在平面直角坐标系
中，点，
分别在线段
，
上，如果存在点
使得
，
（，，逆时针排列），则称点是线段
的“关联点”如图
，点是线的“关联点”．
(1)如图
已知点
，
，点与点重合．
当点是线段中点时，在
，
中，其中是线段的“关联点”的是 ；
已知点
是线段的“关联点”，则点的坐标是 ．
(2)如图
，已知
，
．
当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点
重合），若点是线段的“关联点”，求证：
：
当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图，点是线的“关联点”． (1)如图
已知点，，点与点重合．当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ；已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ．(2)如图
，已知，．当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：：当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐2】阅读理解：如图，在四边形
的边上任取一点
点不与重合
，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”
解决问题：
(1)如图，
，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
(2)如图，在矩形中，、
、、四点均在正方形网格
网格中每个小正方形的边长为
的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点；
(3)如图，将矩形沿
折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形
的边上的一个强相似点，请求出：的值．
，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”解决问题：(1)如图
，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；(2)如图
，在矩形中，、、、四点均在正方形网格网格中每个小正方形的边长为的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点；(3)如图
，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，请求出：的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐3】如图①，在等腰直角三角形
中，
，作平分
交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段
，连接
交射线
于点，连接、
．
填空：
（1）①线段、的数量关系为 ．
②线段、的位置关系为 ．
推广：
（2）如图②，在等腰三角形中，顶角
，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
（3）如图③，在等边三角形中，
．作
平分
交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转
得到线段，连接交射线
于点，当
时，请直接写出的长．
中，，作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转90°得到线段，连接交射线于点，连接、．填空：
（1）①线段
、的数量关系为 ．②线段
、的位置关系为 ．推广：
（2）如图②，在等腰三角形
中，顶角，作平分交于点，点为外部射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接、、．请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：
（3）如图③，在等边三角形
中，．作平分交于点，点为射线上一点，以点为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接交射线于点，当时，请直接写出的长．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，等腰三角形中，
，平分
．点E为上的动点，点M为上的动点，连接
，将
沿翻折．
(1)图1沿折叠，点A与点C重合，连接
，若
，①求证
；②的度数为_________度；
(2)如图2，若点M和点B重合，连接，将
沿折叠得到
，且
，设
与相交于点F．求
度数．
中，，平分．点E为上的动点，点M为上的动点，连接，将沿翻折．(1)图1沿
折叠，点A与点C重合，连接，若，①求证；②的度数为_________度；(2)如图2，若点M和点B重合，连接
，将沿折叠得到，且，设与相交于点F．求度数．
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【推荐2】在中，D，E分别是两边的中点，如果
上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．例如，图1中是的一条中内弧．
（1）如图2，中，
，
，D，E分别是，的中点，画出的最长的中内弧，求此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点
，
，
（
），在中，D，E分别是，的中点．
①若
，求的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在的内部或边上，直接写出t的取值范围．
中，D，E分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．例如，图1中是的一条中内弧．（1）如图2，
中，，，D，E分别是，的中点，画出的最长的中内弧，求此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点
，，（），在中，D，E分别是，的中点．①若
，求的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在
中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在的内部或边上，直接写出t的取值范围．
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，MA＝
，则线段MB＝___________，MC=__________；
ABC外，MA＝2，MC＝5，∠AMC＝45°，求MB；
，MC＝6，求AC.
解答题-证明题
|
较难
(0.4)
名校
【推荐1】（1）问题背景：如图1，在
与
中，AB＝AC，AD＝AE，
，求证：BD＝CE．
（2）尝试运用：如图2，在等边中，P是外的一点，
，BP＝9，
，求CP的长度．
（3）拓展创新：如图3，在中，若AB＝AC＝16，
，O是BC的中点，点E是内部一点，
，将线段AE绕点A逆时针旋转
得到AF，连接AF，请直接写出当OF的长度最小时，AE的长度为_________．
与中，AB＝AC，AD＝AE，，求证：BD＝CE．（2）尝试运用：如图2，在等边
中，P是外的一点，，BP＝9，，求CP的长度．（3）拓展创新：如图3，在
中，若AB＝AC＝16，，O是BC的中点，点E是内部一点，，将线段AE绕点A逆时针旋转得到AF，连接AF，请直接写出当OF的长度最小时，AE的长度为_________．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）【问题情景】如图1，已知在正方形
中，点E、F分别是边
、
上的一动点，连接
、
，且
，如图，延长
至G，使
，通过证明
和
可得
，即：
．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究
、
、
之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形
沿斜边翻折得到
，且
，点E、F分别在边、上运动，且
，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接
、
，且
，
，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边
、
于点E、F，连接，求
的周长．
中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线
、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形
沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；（4）【拓展应用】如图4，已知
是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．
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绕点
；
，底角度数为
，
，在线段
，连接
；
，底角度数为
，点
，将线段
，连接
的长．
