【推荐1】例：；；，求： ＋……＋的值．

【推荐2】你会求（a－1）（a²⁰¹²＋a²⁰¹¹＋a²⁰¹⁰＋‥‥a²＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（a－1）（a＋1）＝a²－1
（a－1）（a²＋a＋1）＝a³－1；
（a－1）（a³＋a²＋a＋1）＝a⁴－1；
(1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a²⁰¹²＋a²⁰¹¹＋a²⁰¹⁰＋……a²＋a＋1）＝________．
(2)利用上面的结论，求2²⁰¹³＋2²⁰¹²＋2²⁰¹¹＋……2²＋2＋1的值是__________．
(3)求5²⁰¹³＋5²⁰¹²＋5²⁰¹¹＋……5²＋5＋1的值．

【推荐3】观察下列等式，解答后面的问题．
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．
…
(1)按照此规律，第个等式是：______；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．

【推荐1】小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
探索以上等式的规律，解决下列问题：
(1)      ；
(2)完成第n个等式的填空：；
(3)利用上述结论，计算．

【推荐2】观察下面依次排列的一些数：
，，，，，，⋯
猜测排列的规律，并回答下列问题．
(1)第7个数是          ，第8个数是          ．
(2)第2023个数是         ．
(3)如果这列数依据这个规律无限排列下去，与哪个整数越来越接近？直接写出这个整数．

【推荐3】下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，观察图案回答问题：

(1)第个图案中白色正方形的个数为________；
(2)请用的代数式表示第个图案中白色正方形的个数．