【推荐2】如图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．已知正方形，点是直线上一动点，连接，分别过点，，向直线作垂线，垂足分别为，，．

(1)如图①，若直角三角形斜边的长为5，直角边的长为4，则的长为______．
(2)如图②，若点在边上，则线段和线段的数量关系为______．
(3)如图③，若点在的延长线上，（2）中结论是否成立？请说明理由．
(4)当直线与正方形一边的夹角为时，若，请直接写出正方形的面积．

【推荐1】[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点．
【特例感知】
（1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由；
【问题解决】
（2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：；
【深入探究】
（3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．
   

【推荐2】数学课上，老师提出一个问题：如图，已知等腰直角，，等腰直角，，连结，为中点，连结，，请探究线段，之间的关系．
小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用，请帮助他完成：

(1)如图，延长至，使得，连结，则线段与线段的数量关系为______，位置关系为______；
(2)如图，延长交延长线于点，连结，，小明的思路是先证明，进而得出与的关系，再继续探究，请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程；
(3)方法运用：如图，等边与等边，点，在外部，，，连结，点为中点，连结，，若，请直接写出的值．

【推荐3】如图，在平行四边形中，为对角线，，平分分别交对角线、边于点E、F，点G为中点，点P为直线上一点，点Q在直线上，作．

                    图1                                                  图2                                               图3
(1)如图1，当点Q在上时，若；求证：；
(2)如图2，当点Q在延长线上时，若，直接写出线段之间的数量关系为______
(3)在（2）的条件下，如图3，连接交于点M，若、，求的长．