【推荐1】如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．

【推荐2】【综合与实践】
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个，作出的平分线．在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，．第一小组的测量结果如下：
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

学生			学生
小明			小刚
小红			小丽

(1)【实验猜想】我们猜想角的平分线有以下性质：______．
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，．求证：．
   
(3)【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
   

【推荐3】如图，已知三个点，，．请按下列语句画出图形．
   
(1)画射线．
(2)画直线．
(3)在直线上找一点，连结，使线段最短．

【推荐1】如图1，正方形的对角线，相交于点O，E是上一点，连接，过点A作，垂足为M，与相交于F．
(1)直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，若点E在的延长线上，过点A作 ，交的延长线于点F，其他条件不变．问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图3，当时，求的度数．
   

【推荐2】如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．

【推荐3】如图，和都是等边三角形，AE与CD相交于F，连接BF．
（1）求证：；
（2）求证：BF平分．

【推荐1】如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，，连结，，，

（1）求证：．
（2）判断的形状，并说明理由．
（3）若，当_______时，．请说明理由．

【推荐2】如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．

（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

【推荐3】数学活动课上老师出示了如下条件，让同学们自己提出问题并解决.

如图，在中，，点在边上，且是线段上的一个动点（不与点重合），在射线上截取，连接.

嘉嘉和淇淇经过讨论后，进行了如下探究。
(1)①如图，若点与点重合，即线段的长度为0，猜测此时线段之间的数量关系是. 请你给出的理由；
②若点不与点重合，线段之间也存在一个数量关系. 请你猜测线段之间的数量关系，并证明；
(2)若把“是线段上的一个动点”改为“是射线上的一个动点（不与点重合，且”，其他条件都不变，则当点在线段的延长线上时，请你用等式表示线段之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）.
   

【推荐1】【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．求证：PD＝PE，图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等便可证得PD＝PE．


(1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程．
(2)【类比探究】如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°．求证：PM＝PN
(3)如图③，ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DC=，直接写出ABD的面积．

【推荐2】如图1，四边形中，，，，，．

(1)求线段的长度；
(2)如图2所示，是的平分线，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是等腰三角形时，请求出的值．

【推荐3】如图：已知中，点在边上，点是边的中点，且，，，，
（1）试判断的形状
（2）求的长．