【推荐1】如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若的半径为2，求的长．

【推荐2】如图，内接于，，连接．
   
(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐3】如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上的一点，交于点，连接，，若，．

(1)求的度数；
(2)若的半径为，求线段的长．

【推荐2】如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于点P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.

【推荐3】如图．是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．

   

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．

【推荐1】如图，内接于圆，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答.

（1）在添加条件，求的长，请你解答.
（2）以下是小明，小聪的对话：
小明：我加的条件是，就可以求出的长.
小聪：你这样太简单了，我加的条件是，连结，就可以证明与全等.参考此对话，在内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.

【推荐2】已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP.
（1）求∠P的度数；
（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.（π取3.14）

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC=3．
（1）以BC边上一点O为圆心作⊙O，使⊙O分别与AC、AB都相切 (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) ；
（2）求⊙O的面积．

【推荐1】如图，有一个直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中MN的与数轴之间的距离为       ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是        ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；
（4）求OA的长，（结果保留）

【推荐2】如图，中弦将圆周分成两部分，是优弧的中点，连接并延长交于点，交于点，连，若，
   
（1）求的半径；
（2）求弓形的面积；
（3）若是的动点（不与、重合），求图中阴影部分面积的最大值．

【推荐3】某公园在一个扇形OEF草坪上的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置．喷头向外喷水．连喷头在内，柱高m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的水流在与D点的水平距离4米处达到最高点B，点B距离地面2米．当喷头A旋转120°时，这个草坪可以全被水覆盖．如图1所示．
（1）建立适当的坐标系，使A点的坐标为（O，），水流的最高点B的坐标为（4，2），求出此坐标系中抛物线水流对应的函数关系式；
（2）求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用π表示）；
（3）在扇形OEF的一块三角形区域地块△OEF中，现要建造一个矩形GHMN花坛，如图2的设计方案是使H、G分别在OF、OE上，MN在EF上．设MN＝2x，当x取何值时，矩形GHMN花坛的面积最大？最大面积是多少？