【推荐1】在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a+bx+c(a<0)经过点A，B，

(1)求a、b满足的关系式及c的值，
(2)当x<0时，若y=a+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，
(3)如图，当a=−1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为?若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由，

【推荐2】【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）

【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点．
(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；
①直接写出______，______；
②点的坐标______；
(2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）．

【推荐2】如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，过点P作于点D、，过点D作，与交于点E．设点P的运动时间为t秒．

(1)线段的长为______；（用含t的代数式表示）
(2)当点E落在边上时，求t的值；
(3)当直线将的面积分成的两部分时，求t的值；
(4)若线段的中点为Q，当点Q落在一边垂直平分线上时，直接写出t的值

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

(1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？
(2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
(3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝50cm，BC＝30cm，AC＝40cm．
   
（1）求证：∠ACB＝90°
（2）求AB边上的高．
（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
①BD的长用含t的代数式表示为　 　．
②当△BCD为等腰三角形时，直接写出t的值．

【推荐2】阅读下面材料：
子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．

请回答：在图2中，的度数是       ．
参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．
（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．

【推荐3】如图，在中，，，点为射线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点，且．
   
(1)当点在线段上，
①求证：；②求的值；
(2)连接，，若，直接写出的长．

【推荐1】（1）感知：如图①所示，在正方形中，为上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，当点在上移动时，的大小________．（填“变化”或“不变”）；
（2）探究：如图②，在矩形中，为上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为的三等分点，，将沿翻折得到，直线交直线于点，请直接写出的长．

【推荐3】问题情境
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE．

操作发现
（1）如图1，设∠PAB=25°则∠ADF=　 　°．
（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为　 　．
（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：
拓展应用
（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长．