【推荐1】如图1，两个等腰，有公共顶点，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、，延长，交于．
（1）求证：；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转，连接，是的中点，连接、、，延长交于，连接，如图2，求证：．

【推荐2】如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点．

(1)________，_________；
(2)求点的坐标；
(3)点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_____________________；
(4)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，连接．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接并延长交的延长线于点，求的度数；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知：内接于，其中，连接．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，点D在上，连接，若，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，交于点E，若，求线段的长．

【推荐3】如图，正方形ABCD中，点P为AB边上一点，将△BCP沿CP翻折至△FCP位置，延长至PF交边AD于E点．
(1) 求证：EF＝DE．
(2) 若DF延长线与CP延长线交于G点，求的值．
(3) 在（2）的条件下，若正方形的边长为，，直接写出DG的长为___________．

【推荐1】在△ABC中，D是边BC的中点．
（1）①如图1，求证：△ABD和△ACD的面积相等；
②如图2，延长AD至E，使DE=AD，连结CE，求证：AB=EC．
（2）当∠BAC=90°时，可以结合利用以上各题的结论，解决下列问题：
①求证：ADBC(即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)；
②已知BC=4，将△ABD沿AD所在直线翻折，得到△ADB'，若△ADB'与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请画出图形(草图)并求出AC的长度．

【推荐3】如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动．连结，以、为边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．

(1)边的长为____________．
(2)当点H落在边上时，求的值．
(3)当平行四边形是轴对称图形时，求的值．
(4)沿过点Q且垂直于的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．直接写出所有符合上述条件的值．

【推荐1】问题情境
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE．

操作发现
（1）如图1，设∠PAB=25°则∠ADF=　 　°．
（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为　 　．
（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：
拓展应用
（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长．

【推荐3】如图，正方形的边长为，点、分别在、上．将该纸片沿折叠，使点落在边上的点处，折痕与相交于．

(1)请判断与之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点为的中点，随着折痕位置的变化，请求出周长的最小值．