【推荐2】小蒙在学习正方形时进行以下研究：

(1)如图（1），在正方形中，点，分别在边上，于点，发现了，小蒙思考若点分别在正方形 的上，保持，如图（2）所示，结论还成立吗?请说明理由，（提示：过点作可构造）
(2)类比探究：如图（3），在矩形中，（为常数），点分别在边上，于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图（4），将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．若，，，则的长为_______；点到的距离为_______．

【推荐2】问题提出：
（1）如图1，在矩形内，以的中点F为圆心，为直径作半圆．P为半圆上一点，若，，试求的面积的最小值．
      
问题探究：
（2）如图2，在菱形中，，，P是菱形内或边上的一点，且，连接，求面积的最小值．
问题解决：
（3）如图3，在市区有一块矩形形状的闲置空地要进行规划，其中米，米，E是边上一点，且米，F是边上的任意一点，把改造成一个供市民休息的区域，是关于的轴对称图形，在区域放置“保护野生动物，拒绝食用野生动物”的宣传与警示栏．同时修建四条观光道，在四边形空地种植草坪，剩余两个三角形区域种植鲜花，试求草坪的面积的最小值．

【推荐3】在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、
AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；
（2）如图2，设AC=x，=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【推荐1】【推理】
如图1，在正方形中，点E是边上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连接，延长交于点．

（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求线段的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连接，延长，交直线于G，H两点，若，，请直接写出的值（用含k的代数式表示）．

【推荐1】问题提出
（1）如图（1），已知中，，，，求点到的最短距离．
问题探究
（2）如图（2），已知边长为3的正方形，点、分别在边和上，且，，连接、，若点、分别为、上的动点，连接，求线段长度的最小值．
问题解决
（3）如图（3），已知在四边形中，，，，连接，将线段沿方向平移至，点的对应点为点，点为边上一点，且，连接，的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．

【知识初探】
（1）如图1，小明提出的问题是可以得到的结论，并得到老师的肯定．请你帮他说明理由；
【类比再探】
（2）如图2，小颖在小明的基础上继续探究，连接交于点，连接，可以得到的结论，也得到老师的肯定．请你帮她说明理由；
【特例探究】
（3）如图3，小华在小明和小颖的基础上继续探究，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，请你帮她求出的最小值．