【推荐1】（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为      ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE， C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点恰好在线段BE上，求点F的坐标．
(3)如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，抛物线交于点N，在抛物线上是否存在点Q，使与的面积相等，且线段NQ的长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】在矩形中，点和点分别在边上，连接与交于点．

(1)如图1，若，，，求的值；
(2)如图2，若，，求的值；
(3)如图3，连接，若，，，求的长．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且于点C，点A的坐标为，，，点D是线段上一点，且，连接．

   
(1)求证：是等边三角形；
(2)求点的坐标；
(3)平行于的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t．
① 当直线l与x轴的交点在线段上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）．

② 若，请直接写出此时的值．

【推荐3】【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．例如：如图1，矩形ABCD中，若PA＝PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=6．
（1）设P是边AD的“和谐点”，则P 边BC的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当△PAB是直角三角形时，求PA的值；
（3）如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．

【推荐1】在正方形中，，为对角线、的交点．

(1)如图1，延长，使，作正方形，使点落在的延长线上，连接、．求证：；
(2)如图2，将问题（1）中的正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，连接、.求点到的距离．

【推荐2】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF．

（1）若取AE的中点P，求证：；
（2）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针方向旋转（＜＜），如图②，是否存在某位置，使得AE∥BF，若存在，求出所有可能的旋转角的大小；若不存在，请说明理由；

【推荐3】在中，，是绕点逆时针旋转所得，其中点，点的对应点分别是点，点，延长交于，连接．
   
(1)若，，求的长；
(2)求证：平分；
(3)求证：．

【推荐1】如图，抛物线y=x²+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

【推荐2】我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
(1)定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为___________；
(2)性质探索：小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现：
在中，如果，那么．
下面是小思同学的证明方法：
已知：如图1，在中，，．

求证：．
证明：如图1，延长到，使得，连接．
∴，
∵，∴，
∵，∴，
又∴
∴∴∴
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：
已知：如图2，在中，．

求证：．
(3)性质应用
已知：如图3，在中，，，，则___________；

(4)拓展应用
已知：如图4，在中，，，，求的长．