【推荐1】在中，，，，E为直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．

(1)                     ；
(2)①如图1，当点E与点B重合时，               ．②如图2，当点E在线段上时，若，求的长度；
(3)若，直接写出的长度．

【推荐2】在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
【问题发现】
如图①，若，则 __________，与的数量关系是__________；
【类比探究】
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图③，点E为正方形的边上的点，，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请求出线段的长度．

【推荐1】阅读理解
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是____；
(2)猜想证明
设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形的面积为S₂，试猜想S₁，S₂，之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展探究
如图2，在矩形ABCD中，点E是AD边上的一点，且AB²=AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，点E₁为点E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为4(m＞0)，平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为2(m＞0)，试求∠A₁E₁B₁＋∠A₁D₁B₁的度数．

【推荐2】已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由；
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

【推荐3】如图（1）矩形中，，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交（或）于点，交边（或）于点，当旋转至处时，的旋转随即停止.

   

(1)特殊情形：如图（2），发现当过点时，也恰好过点，此时，__________（填“”或“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)拓展延伸：设，当面积为4.2时，直接写出所对应的的值.

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若AB=6，AC=4，求EC和PB的长．

【推荐2】如图所示，△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝，D是AB边上一点，O是CD的中点，过点C作AB的平行线交BO的延长线于E，AC与BE交于点F．

(1)若CE＝AD，则CF∶AF＝        ；（直接写出答案）
(2)若＝45°，AD＝3，DB＝1，求BF；
(3)连接AO，若AO⊥OD，且OF＝2EF，求cos．