【推荐1】已知在中，，，斜边的中点为P点，动点D、E分别在边、上，且．

(1)求证：；
(2)设，，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3)若为等腰三角形，请直接写出的长．

【推荐2】如图1，在和中，，，，点，，在同一条直线上，连结．
   
(1)【问题解决】求证：．
(2)若，求的度数．
(3)【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为的中点，连结，，，，求的长．

【推荐3】是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，．

(1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数；
(2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：；
(3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

【推荐2】如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接．

(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．
①当点Q刚好落在弧上，求弧的长；
②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长．

【推荐3】如图，直线y＝4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B两点，过线段AB上一点M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D，且四边形OCMD为正方形．

（1）正方形OCMD的边长为　 　．
（2）将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，得正方形EFGH，设平移的距离为a（0＜a≤4）．
①当平移距离a＝1时，正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为　 　；
②当平移距离a为多少时，正方形EFGH的面积被直线AB分成1：3两个部分？

【推荐1】如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平然后再将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，落在点处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平，如图所示．

(1)如图，线段与是否相等？若相等，请给出证明：若不等，请说明理由；
(2)如图，若，，求：的值．

【推荐2】如图1，在矩形中，，，点是边上一个动点（不与点重合），连接，将沿折叠，得到；再以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于，连接并延长交射线于，连接，设．

(1)求证：是半圆的切线；
(2)当点落在上时，求的值；
(3)当点落在下方时，设与面积的比值为，确定与之间的函数关系式；
(4)直接写出：当半圆与的边有两个交点时，的取值范围．

【推荐3】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
   
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：     ；
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，     °；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．

【推荐1】如图1，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．

(1)求证：四边形是正方形；
小明的部分证明过程如下，请你帮助小明把横线上部分补全；
证明：四边形是矩形，
，
，
______，
，，
_________，
，
______，
______，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，请直接写出的长．

【推荐2】如图，是⊙O的直径，D是⊙O外一点．和都与⊙O相切，切点分别是点B､C，连接交⊙O于点E，连接．
（1）求证：；
（2）如果，
①当_______时，四边形是菱形；
②当_______时，四边形是正方形．

【推荐3】如图，由6个长为2，宽为1的小矩形组成的大矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，由格点构成的几何图形称为格点图形（如：连接2个格点，得到一条格点线段；连接3个格点，得到一个格点三角形；…），请按要求作图（标出所画图形的顶点字母）．

（1）画出4种不同于示例的平行格点线段；

（2）画出4种不同的成轴对称的格点三角形，并标出其对称轴所在线段；

（3）画出1个格点正方形，并简要证明．