【推荐1】如图（1）和为两个全等的等边三角形，边和的中点重合与点，直线交直线于点．

(1)求证：；
(2)若，是判断、、的数量关系；
(3)若，请直接写出的最小值．

【推荐3】综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：如图1，在中，，，射线平分，将射线绕点逆时针㧪转，得到射线，在射线上取点，使得，连接分别交于点，，连接．问：，之间的数量关系是什么？线段，之间的数量关系是什么？
   
【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：
甲同学：当时，如图2，通过探究可以发现，，，都是等腰三角形；
乙同学：可以证明，得到；
丙同学：过点做，垂足为，如图3，则；
丁同学：可以证明，，则，，…．
(1)根据以上探究过程，得出结论：，之间的数量关系是___________；线段，之间的数量关系是___________．
【类比探究】
(2)“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当时，如图1，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移应用】
(3)“创新”小组的同学们改变了条件，当时，如图4，若射线是的三等分角线，，其他条件不变，请直接写出的长．
   

【推荐3】如图，平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4，∠ABD＝α（0°＜α≤90°），以BD为一边作菱形BDEF，点F在射线BC上，BE与DF交于点O，与CD交于点G，连接GF．
（1）如图1，求证：A，D，E三点在一条直线上；
（2）如图1，当点F在线段BC上时，求∠DGF的大小（用含α的式子表示）；
（3）当△ABD为直角三角形时，求△DFG的面积．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，点，和分别在，和的延长线上，点的坐标为．
   
(1)若点的坐标为，请直接写出的长；
(2)如图（1），是正方形外一点．．求证；
(3)如图（2），若，且，请直接用含的式子表示的长．

【推荐3】已知，如图①，在矩形中，，，点P在边上，，点Q在边上，连接，以为边在左侧作正方形．当Q在边上运动时，点E、F也随之运动．

(1)当点Q与点B重合时如图②，求的长；
(2)在点Q运动的过程中，连接、，判断的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由．
(3)在点Q由B向C运动的过程中，求的取值范围．