【推荐1】问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作关于点中心对称的图形，其中点的对应点是点．请你帮助小明完成画图和后面的解答．

尝试运用：如图（2），是的中线，，，，试判断线段与的关系，并加以证明．
迁移拓展：如图（3），是的中线，，，直接用含的代数式写出与之间的面积关系．

【推荐2】如图，在正方形中，为线段上的动点（不含端点），将沿着翻折得到，

（1）如图1，当，求长；
（2）如图2，为线段上的点，当时，求点由到的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积；
（3）如图3，在上，连接，将沿着翻折得到，连结，问是否存在点，使得与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）

【推荐1】如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是的中点，BC＝a，
①求的弧长；
②求的值．

【推荐2】如图1，△ABC和△DEC均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，AD，两条线段所在的直线交于点P.
（1）线段BE与AD有何数量关系和位置关系，请说明理由．
（2）若已知BC=12，DC=5，△DEC绕点C顺时针旋转，
①如图2，当点D恰好落在BC的延长线上时，求AP的长；
②在旋转一周的过程中，设△PAB的面积为S，求S的最值．

【推荐3】如图，在中，为的直径，弦，垂足在半径上．若劣弧沿着直线翻折，点落在上的点处（点不与点重合），连结．

（1）求证：．
（2）延长交于点，连结，若，求的正弦值．