【推荐2】如图，已知线段，点为平面内一动点，连接，，若，，以为边作等边（点，在同则），连接．
   
(1)若，，求证：．
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
(3)当点在平面上运动时，探究：满足什么条件使得恒成立．并给予证明．

【推荐2】如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
   
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作的平行线交直线于点，连接，，点是线段上的动点，若，请直接写出的最小值．

【推荐3】某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为4的正方形，点E是射线上的动点，，且交正方形外角的角平分线于点F．

【探究1】当点E是中点时，如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，而与显然不全等，考虑到点E是的中点，取的中点H，连接，证明与全等即可．
【探究2】
(1)如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不与点B、C重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，如果点E是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？            （填“是”或“否”）；
【探究3】
(3)连接交直线于点I，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【探究4】
(4)当时，此时的面积为        ．

【推荐1】如图1,中, ,直线点是上的动点，过三点的圆交直线于点,连结．

当点与点重合时如图2所示，连，求证:四边形是矩形．

如图3，当与过三点的圆相切时，求的长．

作点关于直线的对称点，试判断能否落在直线上，若能请直接写出的长，若不能说明理由．

【推荐2】观察思考：如图，A、是直线上的两个定点，点、在直线上运动（点在点的左侧），，已知，、间的距离为，连接、、，把沿折叠得．

(1) 当、两点重合时，则__________；
(2)当、两点不重合时，
①连接，探究与的位置关系，并说明理由；
②若以、、、为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出的长．

【推荐3】如图1，四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，点P从点A出发以1cm/s的速度在边AD上向点D运动；点Q从点C同时出发以2cm/s的速度在边CB上向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为ts．

(1)当四边形ABQP是矩形时，t的值是______；
(2)在运动过程中，当PQ＝CD时，t的值是_______；
(3)如图2，若∠DPQ＝2∠C，求t的值．