【推荐1】[教材呈现]如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．

[方法运用]在ABC中，AB＝4，AC＝2，点D在边AC上．
（1）如图①，当点D是边BC中点时，AD的取值范围是　     ．
（2）如图②，若BD：DC＝1：2，求AD的取值范围．
[拓展提升]（3）如图③，在ABC中，点D、F分别在边BC、AB上，线段AD、CF相交于点E，且BD：DC＝1：2，AE：ED＝3：5．若ACF的面积为2，则ABC的面积为　 　．

【推荐2】已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．

【推荐3】如图，在四边形中，点在边上，，，作交线段于点，连接，求证：．

【推荐1】定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

(1)如图1，四边形是垂美四边形，用等式表示之间的数量关系并证明；
(2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交D于点，若，，求线段的长．

【推荐2】勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．
（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（          ）．
（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（          ），请说明理由．
（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（ ），请说明理由．

【推荐3】如图所示， △ABC是直角三角形，∠A=90°，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的动点,且DE⊥DF．

(1)如图(1)，连接AD，若AB=AC=17，CF=5，求线段EF的长．
(2)如图(2)，若AB≠AC，写出线段EF与线段BE，CF之间的等量关系，并写出证明过程．