【推荐1】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
(1)如图1，已知四边形在正方形网格中，顶点都在格点上，判断：四边形______(填“是”或“不是”)以为“相似对角线”的四边形；
(2)如图，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
(3)如图，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．

【推荐2】问题情境：在中，，，，是边上的高，点为上一点，连接，过点作交于点F．
猜想与证明：

（1）如图1，当点E为边的中点时，试判断点是否为边的中点；
（2）如图2，连接，试判断与是否相似；
问题解决：
（3）如图3，当时，试求线段的长．

【推荐1】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=2，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．

(1)在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①=______ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 _______．
(2)小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
(3)根据以上探究，将△BEF绕点B按顺时针方向旋转180°，设直线AE与DF的交点为P，在旋转过程中，点P的位置也随之改变，请思考点P运动的轨迹，直接写出点P运动的路程_______．（结果保留π）

【推荐3】如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．

(1)如图2，四边形是矩形，，，则      ．

(2)如图3，四边形是平行四边形，，求证：四边形是菱形．

(3)已知如图，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述作图思路）

【推荐2】【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点，动点B在上，连结AB，作等边B，C为顺时针顺序，求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
线段OC的最大值为_____．
【灵活运用】
如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段AB外一动点，且，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
如图③，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边，请直接写出AC的最大值，最小值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，为原点，点A（，0），点B（0，1），点E是边AB中点，把绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，若时，求证：四边形OECD是平行四边形；
（Ⅲ）连接OC，在旋转的过程中，求△OEC面积的最大值（直接写出结果即可）．

【推荐1】如图，将和拼成一个四边形，其中，，，过点作，垂足为点，连接．

（1）探索线段、、之间有何等量关系，并加以证明；
（2）设，将绕点旋转得，连接、，请直接写出的最大面积．

【推荐2】阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”
如图1，，其中，，此时，点与点重合，
   
操作探究1:（1）小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
操作探究2:（2）小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当__________时，．（直接回答即可）
操作探究3:（3）小颖将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：
①如图4，当时，直接写出线段的长为_________．
②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长为____________．

【推荐3】如图，在两个全等的等腰直角三角形ABC和EDC中，∠ACB＝∠ECD＝90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°＜α＜90°)．
(1)如图②，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于点M，H.求证：CF＝CH；
(2)如图③，当α＝45°时，试判断四边形ACDM的形状，并说明理由；
(3)如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连结BD，当旋转角α的度数为多少时，△BDH是等腰三角形？