23-24高一下·全国·课前预习
1 . 已知两个_____ 向量
与
,我们把数量
叫做向量
与
的______ (或____ ),记作
,即
(
为
,
的夹角).
规定:零向量与任一向量的数量积为_____ .
注意:(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角
决定:当
是锐角时,数量积为正;当
是钝角时,数量积为负;当
是直角时,数量积等于零.
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规定:零向量与任一向量的数量积为
注意:(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量;
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角
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2 . 向量的夹角公式:设两非零向量
,
,
与
的夹角为θ,则
=_______________ .
注意:由三角函数值cos θ 求角θ时,应注意角θ的取值范围是
.
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注意:由三角函数值cos θ 求角θ时,应注意角θ的取值范围是
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3 . 向量
与
共线的充要条件是:存在唯一一个实数
,使_______ .
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4 . 向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的_______ .对于任意向量
,以及任意实数
,
,
,恒有
=_______ .
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61c75bed3b5ca450265e2e08c1e7dcbe.png)
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5 . 向量数乘的运算律
设λ,μ为实数,那么:
(1)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97194effa5bb27e17646acc5a5eac558.png)
_______ . (2)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7667e5a02abdd3dfd368713d13515e4e.png)
_______ . (3)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dff3214264280a1d978d30cfcc4eff90.png)
_______ .
设λ,μ为实数,那么:
(1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97194effa5bb27e17646acc5a5eac558.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7667e5a02abdd3dfd368713d13515e4e.png)
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6 . 向量的数乘运算的概念
一般地,规定实数λ与向量
的积是一个_______ ,这种运算叫做向量的数乘,记作_______ ,它的长度与方向规定如下:
(1)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d2984c6a16070b31bff26bf31970c9f.png)
_______ .
(2)当
时,
的方向与
的方向_______ ;当
时,
的方向与
的方向_______ ;
当
时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ca81c659691339bd98ee3505b2584a7.png)
_______
注意:
是实数,
是向量,它们的积
仍然是向量.实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如
均没有意义.
一般地,规定实数λ与向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a2f4b1178f68bd147d1a2a6acd04435.png)
(1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d2984c6a16070b31bff26bf31970c9f.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be362dec96173f246ff747264007817.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ecc0b35db23f16a3f01b6edc660b6a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a2f4b1178f68bd147d1a2a6acd04435.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/380cca64859b15c565b5b65c49438c5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ecc0b35db23f16a3f01b6edc660b6a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a2f4b1178f68bd147d1a2a6acd04435.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/558e11d700481dc414d5d073b4b88a3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ca81c659691339bd98ee3505b2584a7.png)
注意:
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7 . 两个向量共线的坐标表示
(1)向量
共线的坐标表示
设
,则
⇔______________ .
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设
,则
⇔
(λ∈R).
上式若用坐标表示,可写为
⇔______________ ,
即
⇔
⇔______________ .
②设
时,
⇔_______________ .
综上①②,向量共线的坐标表示为
⇔______________ .
(1)向量
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设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38c119bbc0aa53cac8b90bfd2ffe3523.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11aeda90bd9777fda412249a37fc7a08.png)
上式若用坐标表示,可写为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ce86b3c1bdca8583e8371161bdd0c70.png)
②设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e9eda8783044fcca1c0b40c308773c6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91b958a367fa2f08b6202a5a6ebf5e9f.png)
综上①②,向量共线的坐标表示为
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8 . 向量在物理中的应用
(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是______
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的_________ 用向量解决速度、加速度、位移等问题,用的知识主要是向量的线性运算,有时也用坐标运算.
(3)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即
(
为
和
的夹角).
(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的
(3)力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即
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9 . 力与向量
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点:力和向量都既要考虑______ 又要考虑______ .
(2)不同点:向量与始点无关,力和作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点:力和向量都既要考虑
(2)不同点:向量与始点无关,力和作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.
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