1 . 已知数列
．求证：
．
．求证：．
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2 . 设
,令
,
，证明:对任何正整数n,有
.①
,令,，证明:对任何正整数n,有.①
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3 . 求满足
的最小正整数
.
的最小正整数.
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4 . 设
均为大于1的整数.证明：存在
个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除.
均为大于1的整数.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除.
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5 . 已知数列
中，
，且当
时，
．试证：对的一切自然数有
．
中，，且当时，．试证：对的一切自然数有．
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6 . 用
表示由0和1组成的长度为（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定
.试证明：
（1）
，
；
（2）
可被3整除，
.
表示由0和1组成的长度为（如00101，10100都是长度为5）的排列中没有两个1相连的排列的个数，约定.试证明：（1）
，；（2）
可被3整除，.
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7 . 给定个（
）互不相等的实数
，所有的
个和
（
，
，
）中互不相同的数恰好有
个的充分必要条件是
，
，…，
成等差数列.
个（）互不相等的实数，所有的个和（，，）中互不相同的数恰好有个的充分必要条件是，，…，成等差数列.
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