1 . 证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.
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2 . 求最小的正整数
,使得存在一个
的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合
; (2)记
为数阵中第
行中的数组成的集合, 
为第
列中的数组成的集合
,则
,
是4026个不同的集合.
,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.
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3 . 已知
个实系数二次函数
的判别式
都相等.若对任意的
，方程
均有两个不等的实根，求证：方程
也有两个不等的实根.
个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.
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4 . 由单位正方形组成的无限格阵的每个单位正方形内都写有一个整数.若每个方格内的整数等于其上方和左方与其相邻的两个方格内的整数之和，且存在一行
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为
，下面一行为
，⋯⋯证明：对于每个正整数
，
上不能有个方格内的整数都是0.
，其中，所有方格内的数都是正整数.记下面一行为，下面一行为，⋯⋯证明：对于每个正整数，上不能有个方格内的整数都是0.
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5 . 已知数列
满足
，
．给定奇质数
和正整数
满足
，证明：
的充分必要条件为
．
满足，．给定奇质数和正整数满足，证明：的充分必要条件为．
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6 . 一个人上台阶可以一次上1级台阶，也可以一次上3级台阶，或者一次上4级台阶.若这个人上
级台阶总共有
种走法，证明
为平方数.
级台阶总共有种走法，证明为平方数.
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7 . 设
，其中，b为正奇数.定义数列
满足
，
.若正整数
，使得
为素数.证明：
.
，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
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8 . 在一次数学会议上，任意两位数学家要么是朋友，要么是陌生人．在进餐期间，每位数学家在两个大餐厅中的其中一个就餐，每位数学家所在的餐厅中包含偶数个他（或她）的朋友．证明：数学家能被分到两个餐厅中的不同分法的数目是2的正整数次幂（即形如
，其中，
是某个正整数）．
，其中，是某个正整数）．
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9 . 设
是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数
,有
.
(1)求
;
(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求
;
(3)是否存在符合题设条件的函数,使
,证明你的结论.
是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求
;(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求;(3)是否存在符合题设条件的函数
,使,证明你的结论.
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，对于正整数
.集族
满足如下条件：
的
