1 . 某个会议有若干人（至少3人）参加，现要将这些人分组．分组前，每个人都选择两个人．若被选择的两个人同组．则选择他们的人不能在这组中．求最小的正整数
，使无论有多少人参加，且无论每人如何选择，都可以将他们按要求分成组．
，使无论有多少人参加，且无论每人如何选择，都可以将他们按要求分成组．
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2 . 设
是整数.对每个正整数，令
为在
进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和
，存在正整数
使得
.
是整数.对每个正整数，令为在进制表示下的非零数字的个数.证明：对于任意给定的正整数和，存在正整数使得.
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3 . 已知数列
满足：
，
，
．求证：
．
满足：，，．求证：．
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4 . 求最小的正整数，使得当正整数点
时，在前个正整数构成的集合
中，对任意
总存在另一个数
且
，满足
为平方数．
，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．
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5 . 求正整数n的最大值，使得对任意一个以
为顶点的n阶简单图，总能找到集合
的n个子集
，满足：
当且仅当
与
相邻.
为顶点的n阶简单图，总能找到集合的n个子集，满足：当且仅当与相邻.
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6 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
7 . 设
为实数，
.证明：
(1)把写成无穷乘积有唯一的表达式
其中，
为正整数，满足
；
(2)是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的
，满足
为实数，.证明：(1)把
写成无穷乘积有唯一的表达式其中，为正整数，满足；(2)
是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足
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8 . 求证:存在唯一的正整数数列
，使得
，
.
，使得，.
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9 . 数列
满足： 
， 
.求证：对一切
，均有
.其中
表示不大于实数
的最大整数，
是斐波那契数列： 
.
满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： .
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