1 . 设
、
为给定整数，集合
.证明：对任意的
，有
.
、为给定整数，集合.证明：对任意的，有.
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2 . 已知非零实数
、、、
满足
（1）求证：二次方程
①必有实根，且
是方程的一个实根；
（2）当
，
时，求、.
、、、满足（1）求证：二次方程
①必有实根，且是方程的一个实根；（2）当
，时，求、.
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3 . 已知非常数的整系数多项式
满足
.①证明：对所有正整数
，
至少有五个不同的质因数.
满足.①证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.
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4 . 在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为
，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A、B、C第n次跳到的位置分别为
，
的三边长分别为a、b、c，面积为S．证明:
，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推．设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S．证明:
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5 . 已知多项式
，其中，为实数．证明：对任意的实数，方程
总有一个相同的实数根．
，其中，为实数．证明：对任意的实数，方程总有一个相同的实数根．
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