1 . 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，另一组对边AD、BC的延长线交于点Q，自P、Q分别作该圆的切线PE、QF其中，E、F是切点，联结PQ.求证：以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.
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2 . 已知
都是正数，对实数
和
总满足
.求证：
.
都是正数，对实数和总满足.求证：.
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3 . 已知数列
： 
,其中
是方程
的两个根，
求证： (1)对任意正整数
，都有
；
(2)数列中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
： ,其中是方程的两个根，求证： (1)对任意正整数
，都有；(2)数列
中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
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4 . 定义在区间
上的函数
满足
，且对任意的
都有
．
（1）证明：对任意的
，都有
．
（2）求
的值．
（3）计算
．
上的函数满足，且对任意的都有．（1）证明：对任意的
，都有．（2）求
的值．（3）计算
．
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5 . 在△ABC 内部取n 个点， 将△ABC剖分为若干个小三角形(每两个小三角形或者有一个公共顶点，或者有一条公共边，或者完全没有公共点，如图所示).现将点A 染红色， 点B 染蓝色，点C 染黑色，其余n 个点的每个点也任意染上红、蓝、黑三色之一.我们称三个顶点的颜色恰为红、蓝、黑的小三角形为“特征三角形”.证明：至少有一个小三角形是特征三角形.
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6 . 已知二次方程
的根是二次方程
的根的2013倍.证明：
.
的根是二次方程的根的2013倍.证明：.
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7 . 命题（
）：设
是非负实数．如果
，则
．
（1）证明命题（）是正确的；
（2）试写出命题（）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．
）：设是非负实数．如果，则．（1）证明命题（
）是正确的；（2）试写出命题（
）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．
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8 . 集合
、
为
的一个等浓二分划（即
，
，且
.记集合中所有数的积为
，集合中所有数的积为
，称
为
的等浓二分划的特征数.证明：
（1）集合的等浓二分划的特征数一定为合数；
（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为
的倍数.
注：有限集合
的元素个数简记为
.
、为的一个等浓二分划（即，，且.记集合中所有数的积为，集合中所有数的积为，称为的等浓二分划的特征数.证明：（1）集合
的等浓二分划的特征数一定为合数；（2）若等浓二分划的特征数不为2的倍数，则该特征数为
的倍数.注：有限集合
的元素个数简记为.
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9 . 如图，已知凸四边形
的对角线交于点
，
、
、
、
分别为
、
、
、
的内切圆圆心，且对应的内切圆半径
、
、
、
满足关系式
．
求证：（1）四边形存在内切圆；
（2）、、、四点共圆．
的对角线交于点，、、、分别为、、、的内切圆圆心，且对应的内切圆半径、、、满足关系式．求证：（1）四边形
存在内切圆；（2）
、、、四点共圆．
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10 . 北京市中学有
（
）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过
．
（）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过．
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