1 . 已知①设函数的值域是,对于中的每个,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.②是定义在且取值于的一个函数,定义,则称是函数在上的次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其次迭代函数,我们引入如下一种关系:对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质:
(i)若,则
(ii)若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.
(1)若函数,求(写出结果即可)
(2)证明:若,则.
(3)若函数,求(桥函数可选取),若,试选取恰当桥函数,计算.
(i)若,则
(ii)若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.
(1)若函数,求(写出结果即可)
(2)证明:若,则.
(3)若函数,求(桥函数可选取),若,试选取恰当桥函数,计算.
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2 . 设函数的反函数为,若存在函数使得对函数定义域内的任意都有,则称函数为函数的“Inverse”函数.
(1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①;②;
(2)设函数存在反函数,证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为;
(3)设函数存在反函数,函数为的一个“Inverse”函数,记,其中,若对函数定义域内的任意都有,求所有满足条件的函数的解析式.
(1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①;②;
(2)设函数存在反函数,证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为;
(3)设函数存在反函数,函数为的一个“Inverse”函数,记,其中,若对函数定义域内的任意都有,求所有满足条件的函数的解析式.
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