1 . 凸多面体的顶点数V,面数F,棱数E之间有很多有趣的性质.例如三棱锥的每个顶点处有3条棱,每条棱与2个顶点连接,故
;三棱锥每个面有3条棱,相邻两个面之间有一条公共棱,故
;凸多面体的欧拉公式:
等等.各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体.例如,四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体,六个面都是正方形的四棱柱是正方体.由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体,把二者称为对偶正多面体.例如由正四面体四个面的中心构成正四面体,所以正四面体的对偶是本身.试根据以上信息解决以下问题.
(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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2 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体,现将它们的体积依次记为,
.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
,分别求出
和
的值;并猜想
与
的大小关系(猜想不需证明)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
、棱数
与顶点数
满足:
.已知正多面体都是简单多面体,设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为
,每个面的边数为
,求
满足的关系式;并尝试据此说明正多面体仅有五种.
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(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
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(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
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3 . 正多面体也称柏拉图立体,被喻为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体
和一个正八面体
的棱长都是a(如图),把它们拼接起来,使它们一个表面重合,得到一个新多面体.
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(1)求新多面体的体积;
(2)求二面角
的余弦值;
(3)求新多面体为几面体?并证明.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87bc797aad25e4ccdc9d722a87b642c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/3/eaf15142-da03-42ca-8aba-80d34458cc28.png?resizew=320)
(1)求新多面体的体积;
(2)求二面角
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4b820c84570da9c38d0a81c22788b76.png)
(3)求新多面体为几面体?并证明.
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2021-05-11更新
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979次组卷
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7卷引用:辽宁省葫芦岛市2021届高三一模数学试题
辽宁省葫芦岛市2021届高三一模数学试题(已下线)专题06 空间图形的表面积和体积-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习(苏教版2019必修第二册)辽宁省名校2021届高三第一次联考数学试题江苏省苏州市昆山市周市高级中学2021-2022学年高三上学期暑期网课自主学习测试数学试题辽宁省沈阳市第一二〇中学2021-2022学年高二上学期期初质量监测数学试题(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
解题方法
4 . 如图,在正三棱锥
中,D,E,F,G分别为
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/13/844a8ec0-c93f-464d-bfec-4583e43e2048.png?resizew=135)
(1)证明:D,E,F,G四点共面,且
平面
.
(2)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制).例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为
,故各个顶点的曲率均为
.若正三棱锥
在顶点S的曲率为
,且
,求四边形
的面积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41e5db1d2fd912f77923e4c120a7dc19.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/10f676428f69456e296652ef1c05618e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/13/844a8ec0-c93f-464d-bfec-4583e43e2048.png?resizew=135)
(1)证明:D,E,F,G四点共面,且
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(2)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
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2021-07-08更新
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458次组卷
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6卷引用:湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题
湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题河北省石家庄市2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题(已下线)第07讲 基本立体图形与直观图(核心考点讲与练)-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略(人教A版2019必修第二册)(已下线)第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)(已下线)模块一 专题5 基本立体图形和直观图 B提升卷