1 . 2024年哈尔滨成为了全国旅游的最热门的城市，美食和冰雪项目深受大量游客喜爱，如图1所示的滑雪圈是网红打卡项目之一。图2为某滑雪圈项目轨道的示意图，该项目的轨道由倾角、长滑道与水平冰雪地面平滑连接构成，雪圈与倾斜滑道间的动摩擦因数，与水平冰雪地面的动摩擦因数。游客甲从滑道顶端A点由静止开始下滑，雪圈过B点前后速度大小不发生变化，当游客甲滑至水平地面上C处时与停在C处未及时起身离开的游客乙发生正碰，作用时间很短，间距离。已知两游客最终都停在了水平面上，不计空气阻力引起的能量损失，两游客连同雪圈可看成质点，游客甲连同雪圈总质量，游客乙连同雪圈总质量为，。求：
（1）碰撞前游客甲的速度；
（2）全过程中两游客与轨道摩擦可能产生的热量的最小值。

2 . 如图所示，表面光滑的平台AB与CO中间是光滑凹槽，质量为m₀=1.5kg、长为l=2.55m的木板Q放置在凹槽内水平面上，其上表面刚好与平台AB和CO水平等高。开始时木板静置在紧靠凹槽左端处，此时木板右端与凹槽右端距离d=0.9m。质量为m=1kg的物块P（可视为质点）从平台AB滑上木板Q，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.75，g=10m/s²。
（1）若物块P以v₀=8m/s的初速度从平台滑上木板，当物块滑至木板右端时，木板恰好到达凹槽右端。
求：①木板Q的右端到达凹槽右端的时间；
②物块P到达平台CO时的动能；
（2）现以平台CO末端O点为坐标原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向水平向右，y轴的正方向竖直向下，若物块以不同初速度从平台AB滑上木板，且木板碰到凹槽右端时立刻停止运动，物块经过O点落在弧形轨道MN上的动能均相同，N为轨道与y轴的交点，ON=0.8125m，忽略空气阻力。
求：①弧形轨道MN的轨道方程；
②物块以v₀=8m/s的初速度从平台滑上木板后，落在轨道MN上的位置坐标。

3 . 如图所示，水平轨道与半径为R的圆弧轨道最低点平滑连接A点，一质量为m的小球（可视为质点）静止在水平轨道的O点，且OA=2R。某时刻对小球施加一水平向右、大小为F=mg（g为重力加速度）的恒力作用，使其沿轨道运动并从B点离开。已知整个过程恒力F始终存在，所有轨道均光滑，空气阻力不计，不考虑小球落地后弹起的情况，求：
（1）小球对圆弧轨道的最大压力；
（2）小球距离水平面的高度为R时速度的大小。

4 . 滑板运动是青少年喜欢的运动之一，某滑板运动场地如图所示，水平面BC与斜面AB和圆弧CD平滑连接，滑板爱好者站在滑板甲上由静止从A点滑下，同时另一完全相同的滑板乙从圆弧上的D点由静止释放。两滑板在水平面上互相靠近时，滑板爱好者跳到滑板乙上，并和滑板乙保持相对静止，此后两滑板沿同一方向运动且均恰好能到达D点，被站在D点的工作人员接收。已知斜面AB的倾角，圆弧CD的半径R=2m，圆心O与D点的连线与竖直方向的夹角，滑板质量m=4kg，滑板爱好者的质量M=60kg，不计空气阻力及滑板与轨道之间的摩擦，滑板爱好者与滑板均可视为质点，取，，。求：
（1）滑板乙在下滑过程中经过圆弧最低点时，对C点压力的大小；
（2）斜面上AB间的距离。

5 . 如图所示，半径为R＝5m的光滑弧形轨道PQ固定，轨道与水平面相切于Q点，水平面的右侧放置一质量为m_C＝0.5kg、半径为r＝2m的光滑弧形槽C，弧形槽与水平面相切于N点，且弧所对应的圆心角为60°，在QN间的O点放置一质量为m_B＝2.5kg的物体B，QO＝2.5m、ON＝1.75m，将一质量为m_A＝0.5kg的物体A由P点的正上方h＝3.2m高度由静止释放，沿弧形轨道的切线方向进入水平面，经过一段时间与物体B发生弹性正碰，然后物体B进入弧形槽。已知物体A、物体B与QN段的动摩擦因数分别为μ₁＝0.4、μ₂＝0.2，重力加速度g取10m/s²，忽略弧形槽C与水平面间的摩擦。求：
（1）物体A第一次通过弧形轨道最低点Q时对轨道的压力大小；
（2）物体A、B碰后各自的速度；
（3）通过计算分析物体B能否从弧形槽C的右侧离开，若能，求出离开时的速度；若不能，求出上升的最大高度，并求出整个过程中弧形槽获得的最大速度。

6 . 如图甲所示，木板放在光滑水平地面上，木板长为，厚度，质量，上表面的动摩擦因数与长度的关系如图乙所示，质量为的小滑块A放在木板的左端，在木板右侧的同一水平地面上有一竖直固定薄挡板D（图中阴影部分），高度也为h，紧挨D的右侧是一个不固定的四分之一光滑圆弧轨道，质量，E端与D上端齐平，已知重力加速度。
（1）若木板固定在地面上，滑块A以一定的初速度从木板左端滑到右端时的速度大小是，求滑块A的初动量；
（2）若选择间合适的距离，木板不固定静止在地面上，仍然以相同的初动量从木板左端向右滑动，滑块到木板右端时木板恰好撞上D，滑块没有从F端冲出，求滑块离开轨道落地时与轨道左端E的距离。

7 . 如图（a），一倾角的固定斜面的段粗糙，段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知段长度为，滑块质量为，滑块与斜面段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，。求：
（1）当拉力为时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B点时的动能；
（3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。

8 . 如图所示，一倾角为的斜面上有3个减速带，相邻减速带间的距离均为，减速带的宽度远小于d；一质量为的无动力光滑小车2可视为质点，现用外力F让小车2静止在距第一个减速带的B处；另一质量为的无动力小车1（可视为质点）从距B点处的A点瞬间获得的初速度匀速下滑。小车1与2碰撞前瞬间撤掉作用在小车2上的外力F，1与2的碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失．设两个小车通过每个减速带前后的动能之比K都是相同的．观察发现，小车2在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第3个减速带后立刻进入与斜面光滑连接足够长的水平地面，小车1与斜面和水平面的动摩擦因数均相同．不计小车间的碰撞时间及小车与减速带间的碰撞时间（重力加速度大小，，），（可能用到的数据，，，，，），求：
（1）小车1与斜面的动摩擦因数；
（2）小车1与2碰撞后，小车1的速度大小；
（3）小车通过每个减速带前后的动能之比K；
（4）小车1在斜面和水平面上运动的总时间（结果保留两位有效数字）。

9 . 如图所示，动摩擦因数为的水平面上有两个半径均为的固定光滑圆轨道，段长度为，现有一个可视为质点的质量的物块静止在点，现对施加一个水平外力作用至点撤去（取），物块滑入第一个轨道，运动到点后又滑入第二个轨道。求：
（1）物块到达点时对轨道的压力？
（2）段长为多大时，物块恰好到达点？
（3）在（2）的前提下，物块在圆轨道上运动到何处，即小物块和圆心连线与竖直向上方向夹角为多大时，轨道对物块的作用力在竖直向下方向的分力最大。并求出此时轨道对物块的作用力在竖直向下方向的最大分力？

10 . 无锡巧克力乐园要建造一个游乐设施，在设计过程中先用模型来检测设施的可行性。其模型如下图所示：轻质弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P（可视为质点）接触但不连接。水平轨道ABE与竖直固定的光滑圆轨道BCD相切于B，圆轨道半径为R，水平轨道BE粗糙，其动摩擦因数为，其余各处摩擦不计。距离为，点距水面的高度为。试验时物块每次压缩弹簧相同长度后，由静止释放。当物块质量为时，恰好能到达圆形轨道的点，点与圆心等高；当物块质量为时，物块做完整的圆周运动，又经点滑至点，最后水平飞入水池内，重力加速度为。求：
（1）弹簧被压缩时的最大弹性势能；
（2）当物块质量为时，到达最高点处轨道对物块的作用力大小；
（3）在（2）情况下，要在水面上放一只救生圈保证游客安全，求救生圈所放位置离水池边缘的水平距离。