2 . 如图所示，矩形ABCD长为2L，宽为L，OP为中线。在OPQ区域内存在竖直向下的匀强电场E₁，其中OQ为曲线，曲线在Q点恰好与DC边相切且，场强大小为，，a为未知的常数，在OPCB内切圆区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀（未知），紧靠A点的左下方矩形区域AFGH内存在沿GH方向的电场E₂，其大小满足关系式，l表示到AH边的距离，AF=L，在边界GH上均匀分布着质量为m、电荷量为e的质子，每次以速度v₀水平向右射出一个质子，质子经过一段时间后都通过A点，最后都水平经过PO边，进入磁场的质子都经过同一点，不考虑质子的重力及质子间的相互作用。求：
（1）全过程电场力对质子做的功和质子在AOPD区域运动的时间；
（2）通过A点的质子的最大速度；
（3）若以A为原点建立坐标系，AO为x轴正向，AD为y轴正向，求出OQ的曲线方程以及质子打在OP上的最高点与P点间的距离；
（4）B₀的大小以及磁场中有质子经过部分的面积（）。

4 . 如图所示，在xOy坐标系中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小磁感应强度大小为。在坐标平面内的某点沿某方向射出一质量为电荷量为的带正电微粒，微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动，且运动轨迹经过O点。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度g取，求：
（1）微粒发射的速度大小和方向；
（2）微粒到达O点时撤去磁场，当微粒的速度沿竖直方向时，微粒的位置坐标是多少；
（3）在（2）问中，当微粒速度沿竖直方向时，再加上原磁场同时撤去电场，此后微粒运动的轨迹离x轴的最大距离为多少（结果可用根号表示）。

5 . 如图所示，xOy平面直角坐标系中第一象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场（未画出），第二象限存在沿x轴正方向的匀强电场E₀，第四象限交替分布着沿-y方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度，磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。一质量为m、电量为+q的粒子从点M（-L，0）以平行于y轴的初速度v₀进入第二象限，恰好从点N（0，2L）进入第一象限，然后又垂直x轴进入第四象限，多次经过电场和磁场后轨迹恰好与某磁场下边界相切。不计粒子重力，求：
（1）电场强度E₀的大小；
（2）粒子在第四象限中第二次进入电场时的速度大小及方向（方向用与y轴负方向夹角的正弦表示）；
（3）粒子在第四象限中能到达距x轴的最远距离。

6 . 如图所示是一种质谱仪的示意图，由左侧加速区域和右侧偏转区域构成。O₁、O₂是加速电场两金属极板上的小孔，加速电压为U。长方体形状的偏转区域位于侧面P、M之间，分界面Q将该区域分为宽度均为d的I、II两部分。I内充满沿+x方向磁感应强度为B的匀强磁场，II内充满沿+x方向电场强度为E的匀强电场。是长方体偏转区域的中心线，且O₁、O₂、O、在同一水平线上。以O为坐标原点，垂直纸面向内为x轴、竖直向上为y轴、水平向右为z轴建立直角坐标系Oxyz。带正电的待测粒子流从O₁孔飘入加速电场，加速后从O₂处射出，再从O点进入偏转区域，穿过分界面Q后，从侧面M穿出。不计粒子重力及从O₂孔飘入的速度，求：
（1）已知粒子穿过Q时的y坐标为y₀，求其在磁场中偏转角度的正弦值；
（2）已知粒子穿过M时的x坐标为x₀，求粒子的比荷；
（3）为增大粒子穿过M时x坐标的数值，请定性给出两种可行的措施；
（4）若U在范围内波动，磁场B、电场E稳定。已知粒子电量为q、质量为m，分别用x₀₁、x₀₂表示粒子穿过M时的x坐标的最小值、最大值，求的值。

7 . 利用电场来控制带电粒子的运动,在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用．如图1所示为电子枪的结构示意图,电子从炽热的金属丝中发射出来,在金属丝和金属板之间加一电压U₀,发射出的电子在真空中加速后,沿电场方向从金属板的小孔穿出做直线运动．已知电子的质量为m,电荷量为e,不计电子重力及电子间的相互作用力．设电子刚刚离开金属丝时的速度为零．

（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度v₀的大小;
（2）示波器中的示波管是利用电场来控制带电粒子的运动．如图2所示,Y和Y'为间距为d的两个偏转电极,两板长度均为L,极板右侧边缘与屏相距x,OO'为两极板间的中线并与屏垂直,O点为电场区域的中心点．接(1),从金属板小孔穿出的电子束沿OO'射入电场中,若两板间不加电场,电子打在屏上的O'点．为了使电子打在屏上的P点,P与O'相距h,已知电子离开电场时速度方向的反向延长线过O点．则需要在两极板间加多大的电压U;
（3）某电子枪除了加速电子外，同时对电子束还有会聚作用，其原理可简化为图3所示．一球形界面外部空间中各处电势均为φ₁，内部各处电势均为φ₂（φ₂>φ₁），球心位于z轴上O点．一束靠近z轴且关于z轴对称的电子流以相同的速度v₁平行于z轴射入该界面，由于电子只受到法线方向的作用力，其运动方向将发生改变，改变前后能量守恒．
①试推导给出电子进入球形界面后速度大小；
②类比光从空气斜射入水中，水相对于空气的折射率计算方法n，若把上述球形装置称为电子光学聚焦系统，试求该系统球形界面内部相对于外部的折射率．