袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程次后,袋中白球的个数记为.
(1)求随机变量的概率分布及数学期望;
(2)求随机变量的数学期望关于的表达式.
(1)求随机变量的概率分布及数学期望;
(2)求随机变量的数学期望关于的表达式.
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更新时间:2020-06-12 08:21:38
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解题方法
【推荐1】甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛,约定赛制如下:每场比赛胜者积2分,负者积0分;比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空;积分首先累计到4分者获得比赛胜利,比赛结束.已知甲与乙比赛时,甲获胜的概率为,甲与丙比赛时,甲获胜的概率为,乙与丙比赛时,乙获胜的概率为.
(1)若,求比赛结束时,三人总积分的分布列与期望;
(2)若,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利,为获得比赛的胜利,试分析乙的最优指定策略.
(1)若,求比赛结束时,三人总积分的分布列与期望;
(2)若,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利,为获得比赛的胜利,试分析乙的最优指定策略.
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【推荐2】在政府精准扶贫政策的扶持下,甲、乙,丙三位学徒跟老李师傅学习制作某种陶器,经过一段时间的学习后,他们各自能制作成功该陶器的概率分别为,,,且.现需要他们三人制作一件该陶器,每次只有一个人制作,且每个人只制作一次,如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作,若陶器制作成功则结束.
(1)按照甲、乙、丙的顺序制作该陶器,若,且,求制作该陶器的人数均值的最大值;
(2)若这种陶器制作成功后需要两轮检测都合格才能上市销售,已知学徒甲制作的陶器第一轮检测合格的概率为,第二轮检测合格的概率为,且两轮检测是否合格相互之间没有影响.如果这种陶器可以上市销售,则每件陶器可获利100元;如果这种陶器不能上市销售,则每件陶器亏损80元.现有学徒甲制作的这种陶器4件,求这4件陶器获利220元的概率.
(1)按照甲、乙、丙的顺序制作该陶器,若,且,求制作该陶器的人数均值的最大值;
(2)若这种陶器制作成功后需要两轮检测都合格才能上市销售,已知学徒甲制作的陶器第一轮检测合格的概率为,第二轮检测合格的概率为,且两轮检测是否合格相互之间没有影响.如果这种陶器可以上市销售,则每件陶器可获利100元;如果这种陶器不能上市销售,则每件陶器亏损80元.现有学徒甲制作的这种陶器4件,求这4件陶器获利220元的概率.
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐3】射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击,以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体,而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质,有益于身心健康.为了度过愉快的假期,感受体育运动的美好,法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.
(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹,假设张三每次打靶的命中率均为,靶场主规定:一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量,求的分布列和数学期望.
(2)张三在休息之余用手机逛站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段:中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼,神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此,在接下来的射击体验中,张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917,弹容为6发的左轮手枪,弹巢中有发实弹,其余均为空包弹.现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行次射击后,记弹巢中空包弹的发数.
(ⅰ)当时,探究数学期望和之间的关系;
(ⅱ)若无论取何值,当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹(以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据,当弹巢中实弹的发数的数学期望时可近似认为枪中没有实弹),求该种情况下最小的射击次数.(参考数据:、)
(1)已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹,假设张三每次打靶的命中率均为,靶场主规定:一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量,求的分布列和数学期望.
(2)张三在休息之余用手机逛站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段:中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼,神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此,在接下来的射击体验中,张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917,弹容为6发的左轮手枪,弹巢中有发实弹,其余均为空包弹.现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行次射击后,记弹巢中空包弹的发数.
(ⅰ)当时,探究数学期望和之间的关系;
(ⅱ)若无论取何值,当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹(以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据,当弹巢中实弹的发数的数学期望时可近似认为枪中没有实弹),求该种情况下最小的射击次数.(参考数据:、)
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(0.4)
名校
【推荐1】年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核,然后通过随机抽样抽取其中的50家,统计其考核成绩(单位:分),并制成如下频率分布直方图.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会,并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言,记抽到的企业中考核成绩在的企业数为X,求X的分布列与数学期望
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数,近似为样本方差,经计算得,利用该正态分布,估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式:
则,.
(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)
(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会,并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言,记抽到的企业中考核成绩在的企业数为X,求X的分布列与数学期望
(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数,近似为样本方差,经计算得,利用该正态分布,估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式:
则,.
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(0.4)
名校
【推荐2】某学校有4000名学生,假设携带乙肝病毒的学生占m%,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验4000次.为减轻化验工作量,统计专家给出了一种化验方法:随机按照k个人进行分组,将各组k个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这k个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若,记每人血样化验的次数为X,求当k取何值时,X的数学期望最小,并求化验总次数;
(2)若,设每人血样单独化验一次的费用为5元,k个人混合化验一次的费用为k+4元.求当k取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并求化验总费用.
参考数据及公式:().
(1)若,记每人血样化验的次数为X,求当k取何值时,X的数学期望最小,并求化验总次数;
(2)若,设每人血样单独化验一次的费用为5元,k个人混合化验一次的费用为k+4元.求当k取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并求化验总费用.
参考数据及公式:().
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较难
(0.4)
【推荐3】如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.
(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?
(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;
(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?
(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?
(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;
(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知,,,,,记为数列的前项和.
(1)求数列,的通项公式;
(2)证明:.
(1)求数列,的通项公式;
(2)证明:.
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较难
(0.4)
【推荐2】近年来,新能源汽车产业大规模发展,某汽车产品自生产并投入市场以来,受到多位消费者质疑其电池产品质量,汽车厂家提供甲、乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测,邀请多位车主进行选择,每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分,若选择乙机构记2分,每位车主选择两个机构的概率相等,且相互独立.
(1)若参加的车主有3人,记总得分为X,求X的分布列与数学期望;
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式;
(3)在(2)的条件下,汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分,若总得为99分就选甲机构,总得分为100分就选乙机构,请分析这种方案是否合理.
(1)若参加的车主有3人,记总得分为X,求X的分布列与数学期望;
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式;
(3)在(2)的条件下,汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分,若总得为99分就选甲机构,总得分为100分就选乙机构,请分析这种方案是否合理.
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