【推荐1】定义函数如：对于实数（，），如果存在整数，使得，则.
（1）若等差数列满足：，，求数列的通项公式；
（2）证明：函数是奇函数且；
（3）已知等比数列具有单调性，其首项，且，求公比的取值范围.

【推荐2】设个不全相等的正数，…，依次围成一个圆圈.
(1)设，且，…，是公差为的等差数列，而，…，是公比为的等比数列，数列，…，的前项和满足，求数列的通项公式；
(2)设，若数列，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
(3)在（2）的条件下，，求符合条件的的个数.

【推荐3】在数列中，，
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求证：.

【推荐1】航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和．
(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数；
(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过6，求的最大值．
（附：，，，，，若，则，）

【推荐2】各项均为正数的数列的前项和记为，已知，且对一切都成立．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，将插入的个数之和记为，其中．求数列的前项和．

【推荐3】已知数列、满足，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和；
（III）若数列的前项和为，设，求证：．

【推荐1】等差数列的公差为，且各项均不为0；在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）若，不等式对任意正整数成立，求整数的最小值.

【推荐2】设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，记.
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求证：①对恒成立.②对恒成立，其中为数列的前n项和.
(3)记，为的前n项和，求证：对任意正整数n，都有.

【推荐3】给出以下两个条件：①，；②，.请从这两个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.已知数列的前项和为，且______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和.若对于恒成立，求实数的范围.