已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上,该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A,B两点,过弦AB的中点M作平行于x轴的直线,与直线OA,OB,l分别相交于P,Q,N三点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当时,求直线AB的方程.
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更新时间:2022-08-31 18:10:40
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【推荐1】在平面直角坐标系中,设点,直线,点在直线上移动,是线段与轴的交点,,.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)直线与曲线交于,两点,求证:.
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【推荐2】已知抛物线:()的焦点为,点,.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知过点的直线l交抛物线于,两点,当到的距离最大时,求的面积.
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【推荐1】已知抛物线E:的焦点为F,点在抛物线E上,且的面积为(O为坐标原点).
(1)求抛物线E的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A、B两点,过A、B分别作垂直于l的直线AC、BD,分别交抛物线于C、D两点,求的最小值.
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【推荐2】已知点在抛物线C:上.
(1)求抛物线C的焦点到其准线的距离;
(2)设直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点,且,求面积的最小值.
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【推荐3】汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面(即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面).其设计的光学原理是:由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射,光线均沿与轴线平行方向路径反射,而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面(线)在该点处的切面(线).定义:经光滑曲线上一点,且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯,已知灯口直径为20cm,灯深25cm(如图1).设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C,以该抛物线顶点为原点,以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系(如图2)抛物线上点P到焦点距离为5cm,且在x轴上方.研究以下问题:(1)求抛物线C的标准方程和准线方程.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明(检验)车灯的光学原理,求证:由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射,反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
(2)求P点坐标.
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【推荐1】已知直线与抛物线交于、两点,是坐标原点,.
(1)求线段中点的轨迹的方程;
(2)设直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.
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【推荐2】直线:与抛物线:交于,两点,且
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与交于,两点,且弦的中点的纵坐标为,求的斜率.
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解题方法
【推荐1】已知焦点在轴上的抛物线过
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)已知直线与抛物线交于点A,,若以为直径的圆过原点,求直线的方程.
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【推荐2】已知是抛物线的焦点,过定点作直线交抛物线于两点,取定点.
(Ⅰ)若,求直线的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得恰好是的重心,如果存在,求出的方程;如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求面积的最小值.
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