【推荐1】一个正三棱锥的底面边长为a，侧面间的二面角为，求三棱锥的体积和侧面积．

【推荐2】如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、、分别是棱、、的中点，为线段上一点，.

（1）若平面交平面于直线，求证：；
（2）若直线平面，
①求三棱锥的表面积；
②试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积.

【推荐1】在梯形中，，，点，分别在边，上，沿直线，，分别将，，折起，点，，重合于一点.

（1）证明：平面平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐2】如图，在四棱锥中，平面，，且，，．

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为45°，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在三棱柱中，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【推荐1】一块边长为8的正方形纸片，按如图所示将阴影部分剪下，将剩余的四个底边长的全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥（注：底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面中心的四棱锥），为底边的中点.

（1）过棱锥的高及点作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为，求的最大值及取最大值时对应的值；
（2）当（1）中的取最大值时，在该棱锥的底面上是否存在动点，使得？若存在，计算动点的运动轨迹的长度；若不存在，请说明理由.

【推荐2】在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且平面.

（1）求证：；
（2）过直线且垂直于直线的平面交于点E，且三棱锥的体积取到最大值，
①求此时的长度；
②求此时二面角的余弦值的大小.

【推荐3】已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面.

（1）求证：；
（2）过作一平面分别交， ， 于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.