【推荐1】动点的轨迹的方程为，过焦点的直线与相交于，两点，为坐标原点.（1）求的值;
（2）设，当三角形的面积时，求的取值范围.

【推荐2】在中，为直角，，，与相交于点，，.
（1）试用、表示向量；
（2）在线段上取一点，在线段上取一点，使得直线过，设，，求的值；
（3）若，过作线段，使得为的中点，且，求的取值范围.

【推荐3】已知曲线，是焦点，点为准线上一点，直线交曲线于、两点.
(1)若，且在第一象限，求直线的方程；
(2)求的最大值，并求出此时点的坐标.

【推荐1】已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作圆两条切线，切点分别为，，求的值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点为，焦距为2，点P是椭圆C上一点满足轴，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线交椭圆C于A，B（异于点P）两点，直线分别交直线于M，N，记，求的最小值．

【推荐3】已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为.
(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）.

【推荐1】已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，.

(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线交椭圆于两点，且，求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，圆上有一动点，在轴上方，点，直线交椭圆于点，连接，.

（1）若，求的面积；
（2）设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.

【推荐1】已知，分别为椭圆C：的左、右顶点，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于两点P，Q（P，Q与顶点，不重合），且直线与，与分别交于点M，N．
(1)求椭圆C的方程
(2)设直线的斜率为，直线的斜率为．
①证明：为定值；
②求面积的最小值．

【推荐2】如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点. 设直线和的斜率为.
①求证: 为定值；
②求的面积的最大值.