【推荐1】为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.

【推荐2】在严峻的疫情面前，为了响应教育部提出的“停课不停学”的政策，居家上网课已成为“宅家学生族”最熟悉的情景了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课少了课堂氛围，加上师生互动环节不惬意，学生听课缺乏专注力．鉴于此，为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了，经过一个月对全体同学上课情况的观察统计．平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，，试解决下列问题：
①求证：数列为等比数列；
②求的通项公式．

【推荐3】已知等比数列满足，其中，为的前项和，.
(1)求；
(2)设，若，恒成立，求的最小值.

【推荐1】已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0.设是数列的前项和.若，，是数列的前3项，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在常数，使得为等差数列？并说明理由.

【推荐2】已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．

【推荐3】已知正项等比数列中，为的前n项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和，求.

【推荐1】正项等比数列的前项和记为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)等差数列的各项为正，且，又，，成等比数列，设，求数列的前项和．

【推荐2】以数列的任意相邻两项为坐标的点，均在一次函数y=2x+k的图象上，数列满足，且.
（1）求证数列为等比数列，并求出数列的公比；
（2）设数列，的前n项和分别为S_n，T_n，若S₆=T₄，S₅=﹣9，求k的值.

【推荐3】已知数列是等比数列，其前n项和为，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是等差数列，，如果等差数列的通项满足.令，求数列的前n项和.

【推荐1】已知是等差数列的前项和，，，正项等比数列满足，．
(1)求和的通项公式；
(2)求的前n项和；
(3)求的前n项和．

【推荐2】给出以下两个条件：①数列的首项，，且，②数列的首项，且．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐3】设数列 满足 ， ；数列的前 项和为 ，且
（1）求数列和的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．