【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.

(1)判断线段PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；
(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆内或圆上，求直线AB斜率的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在直线上且不在x轴上，直线与椭圆E的交点分别为A、B，直线与椭圆E的交点分别为C、D.
（1）设直线、的斜率分别为、，求的值
（2）问直线m上是否点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，，，满足若存在，求出所有满足条件的点P的坐标若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若经过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线，使得到直线的距离满足恒成立，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为P，的内切圆的半径为，且的面积为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点B作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点D和点E，若直线DE与x轴的交点为T，O为坐标原点，的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

【推荐3】设分别为椭圆的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求椭圆 的方程和焦点坐标；
（2）在（1）的前提下，若直线与椭圆C有两个不同的交点，求m的取值范围.

【推荐1】中心在原点，焦点在x轴的椭圆C，短轴长为2，离心率为，C的右顶点和上顶点分别为A，B，直线与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限），且直线AP、BQ的斜率之和为0.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线的斜率k为定值；
(3)求四边形APBQ面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C与轴负半轴交于点，直线过定点交椭圆于M，N两点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到其左、右焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点.若椭圆上存在点满足，求四边形面积.

【推荐1】已知动点P到直线的距离与到点的距离之比为.
（1）求动点P的轨迹；
（2）直线与曲线交于不同的两点A,B(A,B在轴的上方)：
①当A为椭圆与轴的正半轴的交点时，求直线的方程；
②对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆：，圆以为圆心，为半径，且圆在轴上方．
(1)若直线与椭圆交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为，求直线的斜率；
(2)已知点S，T在椭圆上，记椭圆的右顶点为A，若直线AS，AT与圆均只有1个交点，探究：直线ST是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由，

【推荐3】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．

步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点，使得直线TM，TN的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．