【推荐1】是等差数列，，，从中依次取出第项，第项，第项，，第项，按原来的顺序排成一个新数列，则等于__________．

【推荐2】法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为3，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的线段做相同的操作，得到图3中的图形.依此类推，则第个图形中新出现的等边三角形的边长为__________；第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为__________.
   

【推荐3】已知数列满足：，，则数列的前项和__________.

【推荐1】若数列是正项数列，且，则_______．

【推荐2】设数列的前n项和为，已知，且对任意正整数n都有，则______

【推荐3】已知数列满足，，则的最小值为______．

【推荐1】设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a₁＝，a_n＝f(n)(n∈N^*)，则数列{a_n}的前n项和S_n＝________.

【推荐2】已知数列的前项和为，且，若，则的最小值为__________.

【推荐3】贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:①次传球之后,共有___________种可能的传球方法;②次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有___________种.

【推荐1】设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为_____.

【推荐2】设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.

【推荐3】已知数列满足：①，，；②，（为常数）；③，使得恒成立．则满足条件的一个数列的通项公式为______．