【推荐1】已知四棱锥中，底面，，且底面是边长为1的正方形．是最短的侧棱上的动点．

（Ⅰ）求证：、、、、五点在同一个球面上，并求该球的体积；
（Ⅱ）如果点在线段上，，∥平面，求的值.

【推荐2】某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为，高为，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.

（1）当时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的和，求手工作品体积的最大值.

【推荐3】已知一个高为的圆锥内接于一个体积为的球，在圆锥内又有一个内切球．求：
（1）圆锥的侧面积．
（2）圆锥内切球的体积．

【推荐1】如图，正四棱锥 中底面边长为，侧棱与底面所成角的正切值为．

(1)求正四棱锥 的外接球半径；
(2)若 是 中点，求异面直线 与 所成角的正切值．

【推荐2】设四面体的内切球半径为，各顶点到对面的距离分别为，求证．

【推荐3】自半径为的球面上一点，引球的三条两两互相垂直的弦，求的值．

【推荐1】如图，在三棱锥中，平面平面,，，D，E分别为，中点，且.

(1)求的值；
(2)若，求二面角的余弦值.

【推荐2】如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且

(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的余弦值.

【推荐3】如图，等腰梯形中，，，，为中点，为中点.将沿折起到的位置，如图．
   
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，求点到平面的距离．