【推荐1】在锐角中，角的对边分别为，，，若，则________，的取值范围为________.

【推荐2】已知在中，，点D，E是边BC上的两点，点在B，E之间，，则_____________.

【推荐3】在中，，延长CB至点，使得，若，则的取值范围为______．

【推荐1】如图，B是线段上一点，点D位于点A的北偏东方向上，位于点B的正北方向上，位于点C的北偏西方向上，且，则___________，___________；（答案精确到小数点后两位）（参考数据：）

【推荐2】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，，则____________，的面积的取值范围是___________.

【推荐3】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，点为线段上一点，且，为线段的两个三等分点，的外接圆半径为（为半焦距），且为锐角，则______．

【推荐1】在半径为4的球的球面上有不同的四点，，，若，则平面被球所截得的图形的面积_____

【推荐2】早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为________；该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于________．

【推荐3】如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当二面角的大小为时，则______；四棱锥外接球的表面积为______.
   

【推荐1】如图，在棱长为的正四面体中，动点在侧面内，底面，垂足为，若，则长度的最小值为________.

【推荐2】棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴.有下列命题：
①圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等；
②正方体所有的面与圆柱的底面所成的角都相等；
③在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的面积；
④圆柱侧面积的最大值为.
其中正确的命题是______.

【推荐3】已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有__________条.