【推荐1】已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别为线段的中点，原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的离心率，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，以为圆心，长为半径作圆，过点作圆的两条切线、（、为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．

【推荐1】已知椭圆的左、右顶点分别是，，点（异于，）在椭圆上，记直线，的斜率分别为，．
(1)证明：．
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右焦点，求面积的取值范围．

【推荐2】已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，分别为左右焦点，过点作直线交椭圆于（在两点之间）两点，且，关于原点的对称点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的方程；
（3）过任作一直线交过三点的圆于两点，求面积的取值范围.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，点(2，1)在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x²＋y²＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证： OP⊥OQ．

【推荐1】已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求线段长的最小值；
(3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上.

【推荐2】已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．
（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；
（2）求的最大值；
（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．

【推荐3】已知中心在原点的椭圆C₁和抛物线C₂有相同的焦点(1，0)，椭圆C₁过点，抛物线的顶点为原点．

(1)求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
(2)设点P为抛物线C₂准线上的任意一点，过点P作抛物线C₂的两条切线PA，PB，其中A、B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
②若直线AB交椭圆C₁于C，D两点，S_△PAB，S_△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

【推荐1】已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为．
（1）证明：;
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且．证明：成等差数列．

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的实轴长为4，焦距为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N（异于椭圆的左顶点），设点Q是x轴上的一个动点．直线QM，QN的斜率分别为，，试问：是否存在点Q，使得为定值？若存在．求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．