已知函数
的定义域为
，若存在常数
，使得对内的任意
，
，都有
，则称是“
-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
，
是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设
，若
是“2024-利普希兹条件函数”，且
的零点
也是的零点，
. 证明：方程
在区间
上有解.
的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数
，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设
，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
更新时间：2024-01-26 17:27:50
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【推荐1】对于整系数方程
，当
的最高次幂大于等于3时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根，则
，若
已经可以求解，则问题解决；否则，就对再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数方程
有有理根
，其中
、
，
，
，那么
，
.符号说明：对于整数
，
，
表示，的最大公约数；
表示是的倍数，即整除.
(1)过点
作曲线
的切线，借助有理根定理求切点横坐标；
(2)试证明有理根定理；
(3)若整数
，
不是3的倍数，且存在有理数，使得
，求，.
，当的最高次幂大于等于3时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根，则，若已经可以求解，则问题解决；否则，就对再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数方程有有理根，其中、，，，那么，.符号说明：对于整数，，表示，的最大公约数；表示是的倍数，即整除.(1)过点
作曲线的切线，借助有理根定理求切点横坐标；(2)试证明有理根定理；
(3)若整数
，不是3的倍数，且存在有理数，使得，求，.
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【推荐2】已知直线，
，
，直线
交轴于点
，交
轴于点
，坐标原点为
．
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设
的面积为
，求的最小值及此时直线的方程；
（3）直接写出的面积（
）在不同取值范围下直线的条数．
，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为．（1）证明：直线
过定点；（2）若直线
在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程；（3）直接写出
的面积（）在不同取值范围下直线的条数．
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,
.
的零点；
(
为常数)与
的图像交于不同的两点
､
；
的最小值.
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解题方法
【推荐1】把半椭圆：
和圆弧：
合成的曲线
称为“曲圆”，其中点
是半椭圆的右焦点，
、
分别是“曲圆”与轴的左、右交点，
、
分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知
，过点
的直线与“曲圆”交于
、
两点.
(1)求“曲圆”中的半椭圆的方程；
(2)求
的周长的取值范围；
(3)
是否可能是直角三角形，请说明理由.
和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，、分别是“曲圆”与轴的左、右交点，、分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于、两点.(1)求“曲圆”
中的半椭圆的方程；(2)求
的周长的取值范围；(3)
是否可能是直角三角形，请说明理由.
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【推荐2】已知函数
．
(1)当
时，求
在
上的最值；
(2)设
，证明：当
时，
仅有2个零点．
．(1)当
时，求在上的最值；(2)设
，证明：当时，仅有2个零点．
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【推荐3】已知函数
，其中ｅ是自然数的底数，
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）当时，求整数的所有值，使方程
在
上有解；
（3）若在
上是单调增函数，求的取值范围．
，其中ｅ是自然数的底数，．（1）当
时，解不等式；（2）当
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在上是单调增函数，求的取值范围．
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，
.
(1)作出函数
的图象；
(2)定义
设函数
，若存在
，使得
成立，求的取值范围.
，.(1)作出函数
的图象；(2)定义
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【推荐2】若函数
在定义域中存在，
，使得
成立，则称该函数具有性质p．
(1)判断以下两个函数是否具有性质p：
①
，
；
②
，
．
(2)若函数
，（其中
，
）具有性质p，求
的取值范围．
在定义域中存在，，使得成立，则称该函数具有性质p．(1)判断以下两个函数是否具有性质p：
①
，；②
，．(2)若函数
，（其中，）具有性质p，求的取值范围．
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，如果存在实数
使得
，那么称
的生成函数．
；
；
，生成函数
在
上有解，求实数
的取值范围．
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【推荐1】已知函数
（1）若函数的一个零点是1，且在
上是单调减函数，求
的取值范围；
（2）若
，当
时，求函数
的最小值
；
（3）当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
（1）若函数
的一个零点是1，且在上是单调减函数，求的取值范围；（2）若
，当时，求函数的最小值；（3）当
时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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解题方法
【推荐2】已知
是定义在上的奇函数，且
，若
，
时，有
成立.
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)解不等式
；
(3)若
对所有的
恒成立，求实数的取值范围.
是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.(1)判断
在上的单调性，并证明；(2)解不等式
；(3)若
对所有的恒成立，求实数的取值范围.
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．若对任意实数
，都有
恒成立，求实数
