拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
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更新时间：2024-03-12 12:25:01
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知奇函数
在
上有定义，在
上是增函数，
，又知函数
，
，集合M={m|恒有
}，N={m|恒有
}，求
．
在上有定义，在上是增函数，，又知函数，，集合M={m|恒有}，N={m|恒有}，求．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】对于集合
，定义函数
．对于两个集合
，定义集合
．已知集合
．
(1)求
与
的值；
(2)用列举法写出集合
；
(3)用
表示有限集合所包含元素的个数．已知集合
是正整数集的子集，求
的最小值，并说明理由.
，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．(1)求
与的值；(2)用列举法写出集合
；(3)用
表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.
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，
，其中
，求
．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知集合
，
，
，且集合D满足
，
．
(1)求实数t的值：
(2)对集合
，其中
，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：
，
，其中
是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的
，总有
，则称集合A具有性质P．
①请检验集合
与
是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
，，，且集合D满足，．(1)求实数t的值：
(2)对集合
，其中，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：，，其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的，总有，则称集合A具有性质P．①请检验集合
与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】设集合
，
，
，中至少有两个元素，且满足：①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
；
(1)判断下列两组集合是否满足要求：
（ⅰ）若
，则
；
（ⅱ）若
，则
；
(2)证明：若
有
个元素，则
有
个元素.
，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；(1)判断下列两组集合是否满足要求：
（ⅰ）若
，则；（ⅱ）若
，则；(2)证明：若
有个元素，则有个元素.
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，其中
.设
，
.
，
，求
；
，使得
，且
？若存在，求出所有满足条件的
；若不存在，说明理由；
且
，
，
单调递增，求集合
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】对于任意有限集，定义集合
表示的元素个数.已知集合
为实数集
的非空有限子集，设集合
.
(1)若
，求集合
和
；
(2)已知
为有限集，若
，证明：
.
(3)若
，求
的值.
，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.(1)若
，求集合和；(2)已知
为有限集，若，证明：.(3)若
，求的值.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知集合
具有性质
：对任意
、
，
与
至少一个属于
.
(1)分别判断集合
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)
具有性质，当
时，求集合；
(3)记
，求
.
具有性质：对任意、，与至少一个属于.(1)分别判断集合
与是否具有性质，并说明理由；(2)
具有性质，当时，求集合；(3)记
，求.
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，使得对任意
，
，均有
，则称
，
，试判断
是否为有界集合，并说明理由；
，若函数
为有界集合，求集合
.
，记
，
，
，
，求使得集合
为有界集合时
的取值范围.
