【推荐1】对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”
（1）若是向量组的“长向量”，且，求实数的取值范围；
（2）已知，，均是向量组的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．

【推荐2】已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点.
(1)点能否是线段的中点？请说明理由；
(2)若点都在双曲线的右支上，直线与轴交于点，设，求的取值范围.

【推荐3】已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点.
(1)当直线过右焦点时，求椭圆的标准方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，若点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

【推荐1】在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，若，
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．

【推荐2】已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的投影分别P、Q．
（1）已知，若，求直线l的方程；
（2）设P、Q的中点为M，请判断PF与MB的位置关系并说明理由．

【推荐3】已知抛物线：的焦点在双曲线：的右准线上，抛物线与直线交于两点，的延长线与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积等于，求的值；
（3）记直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值．

【推荐1】已知圆经过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线：与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程.

【推荐2】设向量，，，（）.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，求函数零点的个数.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．

【推荐1】个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.

【推荐3】设非零向量，，规定：，点分别是椭圆：的上顶点和右顶点，且，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线交于不同两点，又点，当时，求实数的取值范围.