【推荐1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为____________．

【推荐3】已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________．

【推荐1】定圆M:，动圆N过点且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E，设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且，当的面积最小时，则直线AB的斜率是_________．

【推荐2】已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为．直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为_______________．

【推荐3】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．

【推荐2】过抛物线的焦点作直线交于、两点，是线段的三等分点，过作的准线的垂线，垂足是，则________；的最小值等于________.

【推荐3】设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则三角形的面积为________．

【推荐1】已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，若为的角平分线，则直线的斜率为______．

【推荐3】已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________.