已知平面直角坐标系
中，有真命题：函数
的图象是双曲线，其渐近线分别为直线
和y轴．例如双曲线
的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点
顺时针旋转
得到双曲线
的图象．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)已知曲线
，过
上一点
作切线分别交两条渐近线于
两点，试探究
面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
(3)已知函数
的图象为Γ，直线
，过
的直线与Γ在第一象限交于
两点，过作
的垂线，垂足分别为
，直线
交于点
，求
面积的最小值．
中，有真命题：函数的图象是双曲线，其渐近线分别为直线和y轴．例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象．(1)求双曲线
的离心率；(2)已知曲线
，过上一点作切线分别交两条渐近线于两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数
的图象为Γ，直线，过的直线与Γ在第一象限交于两点，过作的垂线，垂足分别为，直线交于点，求面积的最小值．
更新时间：2024-05-09 11:43:41
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较难
(0.4)
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解题方法
【推荐1】已知函数
，
．
（1）当
时，直线
与函数
的图象相切，求
的值；
（2）若
在
上恒成立，求
的取值范围．
，．（1）当
时，直线与函数的图象相切，求的值；（2）若
在上恒成立，求的取值范围．
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(0.4)
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解题方法
【推荐2】已知抛物线
过点
为坐标原点.
(1)直线经过抛物线
的焦点，且与抛物线相交于两点，若弦
的长等于6，求
的面积；
(2)抛物线上是否存在异于
的点
，使得经过
三点的圆
和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
过点为坐标原点.(1)直线
经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若弦的长等于6，求的面积；(2)抛物线
上是否存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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（
）
在
处的切线的斜率为
，求
，
在
上存在唯一零点，求
的值．
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(0.4)
解题方法
【推荐1】已知双曲线
的一条渐近线方程为
，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为
，直线
与双曲线相交于两点
不是左右顶点），且
.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线
的方程；(2)若双曲线
的右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
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【推荐2】已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线
的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，
，点
为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，
，已知
，
的斜率之比为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设
和
的面积分别为
和
，求
的取值范围.
参考结论：点
为双曲线
上一点，则过点
的双曲线的切线方程为
.
的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为. (1)求双曲线
的方程；(2)直线
是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.(3)设
和的面积分别为和，求的取值范围.参考结论：点
为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
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经过点
，其离心率为
，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线
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【推荐1】已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，M在C的右支上，
的最大值为3，且当
时，
的面积为
.
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且
，
与
交于点P，求证：
为定值.
的左右焦点分别为，，M在C的右支上，的最大值为3，且当时，的面积为.(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且
，与交于点P，求证：为定值.
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【推荐2】已知点
在双曲线
上，双曲线的离心率为
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
的直线交双曲线于不同于点的两点，直线
和直线
的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
在双曲线上，双曲线的离心率为.(1)求双曲线
的方程；(2)过点
的直线交双曲线于不同于点的两点，直线和直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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上，且
.
轴上方的两点，且
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【推荐1】已知双曲线C：
过点
，右焦点F为
，左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线
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的垂心在双曲线C上．
过点，右焦点F为，左顶点为A(1)求双曲线C的方程
(2)动直线
交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
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【推荐2】已知双曲线的方程为
，其中
是双曲线上一点，直线
与双曲线的另一个交点为，直线
与双曲线的另一个交点为
，双曲线在点
处的两条切线记为
与
交于点，线段
的中点为
，设直线
的斜率分别为
．
(1)证明：
；
(2)求
的值．
的方程为，其中是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为．(1)证明：
；(2)求
的值．
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的一条渐近线经过点
，
.
的顶点都在
在第四象限且纵坐标为
，直线
，
轴交于点
.试判断直线
