复数除了代数形式
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式
体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据
，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转
的变换称为旋转角是的旋转变换．设点
经过旋转角是的旋转变换下得到的点为
，且旋转变换的表达式为
曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数
图象上每一点绕原点逆时针旋转
后就得到双曲线：
．
(1)求点
在旋转角是
的旋转变化下得到的点的坐标；
(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
(3)等边
中，
在曲线上，求的面积．
之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．(1)求点
在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；(2)求曲线
在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；(3)等边
中，在曲线上，求的面积．
更新时间：2024-05-14 17:10:14
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【推荐1】设
是定义在
上的函数，若存在
使得在
上单调递增，在
上单调递减，则称为上的单峰函数，
为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.
（1）判断下列函数是否为单峰函数：
①
，
；
②
，；
③
，；
④
，.
对任意的上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）.
（2）证明：对任意的
，
，
，若
，则
为含峰区间；若
，则
含峰区间；
（3）对给定的
，证明：存在，，满足
，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于
.
是定义在上的函数，若存在使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.（1）判断下列函数是否为单峰函数：
①
，；②
，；③
，；④
，.对任意的
上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）.（2）证明：对任意的
，，，若，则为含峰区间；若，则含峰区间；（3）对给定的
，证明：存在，，满足，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于.
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【推荐2】已知定理：“若a，b为常数，
满足
，则函数
的图象关于点
中心对称”，设函数
，定义域为A.
（1）试证明
的图象关于点
成中心对称；
（2）当
时，求证：
.
（3）对于给定的
，设计构造过程：
.如果
，构造过程将继续下去；如果
，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.
满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.（1）试证明
的图象关于点成中心对称；（2）当
时，求证：.（3）对于给定的
，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.
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【推荐3】《判定树理论导引》中提到“1”型弱对称函数：函数
定义域为
，且满足
(1)若
是“1”型弱对称函数，求
的值；
(2)若恰有99个零点分别记作
，求
的取值范围．
定义域为，且满足(1)若
是“1”型弱对称函数，求的值；(2)若
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【推荐1】复数
的辐角主值是
，且
为一实数，求复数．
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【推荐2】复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如
的数称为复数，其中
称为实部，
称为虚部，i称为虚数单位，
.当
时，
为实数；当
且时，为纯虚数.其中
，叫做复数的模.设
，
，，，
，
，
如图，点
，复数
可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成
的形式，即
，其中
为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定
范围内的辐角的值为辐角的主值，记作
.叫做复数的三角形式.
，
，求
、
的三角形式；
(2)设复数
，
，其中
，求
；
(3)在中，已知、、为三个内角
的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①
；
②
，
，
.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
，，求、的三角形式；(2)设复数
，，其中，求；(3)在
中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①
；②
，，.注意：使用复数以外的方法证明不给分.
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，其中i为虚数单位，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则：
.如果令
，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题.
写成三角形式；
；
；
的值.
