【推荐1】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．
（1）求抛物线的方程；
（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍（O为坐标原点），求和的方程．

【推荐2】已知抛物线：，焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．

【推荐3】已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值，

【推荐1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.

（1）易求，，三点的坐标.
（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.

【推荐2】已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且.

（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值.

【推荐3】直线与抛物线交于、两点，且，其中为原点.
(1)求此抛物线的方程；
(2)当时，过、分别作的切线相交于点，点是抛物线上在、之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点、，求与的面积比.

【推荐1】已知抛物线：的焦点在双曲线：的右准线上，抛物线与直线交于两点，的延长线与抛物线交于两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积等于，求的值；
（3）记直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值．

【推荐2】如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.

（1）证明：抛物线与圆相切；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.

【推荐3】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.
(1)若的坐标为，求的值；
(2)设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，证明：.