已知集合
，其中
，
表示
中所有不同值的个数.
(1)若集合
，求；
(2)若集合
，求证：的值两两不同，并求；
(3)求的最小值.（用含
的代数式表示）
，其中，表示中所有不同值的个数.(1)若集合
，求；(2)若集合
，求证：的值两两不同，并求；(3)求
的最小值.（用含的代数式表示）
更新时间：2018-01-22 21:58:16
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知等差数列
的公差
，数列
满足
，集合
.
（1）若
，
，求集合
；
（2）若
，求
使得集合恰有两个元素；
（3）若集合恰有三个元素，
，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
的公差，数列满足，集合.（1）若
，，求集合；（2）若
，求使得集合恰有两个元素；（3）若集合
恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
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(0.4)
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【推荐2】已知：集合
，其中
．
，称
为
的第
个坐标分量．若
，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于
个．
②
，
，
，存在
，使得，，
的第
个坐标分量都是
．则称为
的一个好子集．
（）若
为
的一个好子集，且
，
，写出，
．
（
）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过
．
（
）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个
，使得中所有元素的第
个坐标分量都是．
，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：①
中元素个数不少于个．②
，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．（
）若为的一个好子集，且，，写出，．（
）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．（
）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．
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．对于集合
中的任意元素
和
，记
．
，
，求
和
的值；
时，设
是
，当
是偶数；当
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】将数列
的前项分成两部分，且两部分的项数分别是
，若两部分和相等，则称数列的前项的和能够进行
等和分割.
（1）若
，试写出数列的前项和所有等和分割；
（2）求证：等差数列的前
项的和能够进行
等和分割；
（3）若数列的通项公式为：
，且数列的前项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的.
的前项分成两部分，且两部分的项数分别是，若两部分和相等，则称数列的前项的和能够进行等和分割.（1）若
，试写出数列的前项和所有等和分割；（2）求证：等差数列
的前项的和能够进行等和分割；（3）若数列
的通项公式为：，且数列的前项的和能够进行等和分割，求所有满足条件的.
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解题方法
【推荐2】数列
中，
，
.
（1）若
，求
及
.
（2）对任意正整数n，
恒成立，求实数x的取值范围.
中，，.（1）若
，求及.（2）对任意正整数n，
恒成立，求实数x的取值范围.
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．
的等差数列，正整数k，
．
．
为一个自然数集上的正值函数，证明：
．
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】设正整数m，n满足
，
，
，
，…，
为集各
的n元子集，且
；
（1）若
，满足
；
（i）求证：
；
（ii）求满足条件的集合的个数；
（2）若
中至多有一个元素，求证：
.
，，，，…，为集各的n元子集，且；（1）若
，满足；（i）求证：
；（ii）求满足条件的集合
的个数；（2）若
中至多有一个元素，求证：.
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【推荐2】在自然数列
中，任取个元素位置保持不动，将其余
个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为
.
（1）求
；
（2）求
；
（3）证明
，并求出
的值.
中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为.（1）求
；（2）求
；（3）证明
，并求出的值.
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，记M的含有三个元素的子集的个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.
的值； 
的表达式，并证明之．
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解题方法
【推荐1】设集合
，如果对于
的每一个含有
个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于
，称正整数为集合的一个“相关数”.
(1)当
时，判断5和6是否为集合
的“相关数”，说明理由；
(2)若为集合的“相关数”，证明：
；
(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.
，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.(1)当
时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；(2)若
为集合的“相关数”，证明：；(3)给定正整数
，求集合的“相关数”m的最小值.
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【推荐2】对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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为坐标原点，对任意的点
，定义
，任取点
，记
，若此时
成立，则称点
相关.
；②
.
，点集
，求集合
相关的点的个数.
