【推荐1】将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.

第一行					…
第二行					…
第三行					…

对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.
（Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.

【推荐2】对于给定的正整数，．对于，，定义．有：当且仅当，称;当
(1)时，，请直接写出所有的，满足．
（2）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．
（3）若非空集合，且满足对于任意的，，，均有，求集合中元素个数的最大值．

【推荐3】给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．

【推荐1】已知数列满足：，，数列满足：，，求证：．

【推荐1】已知函数()．
（1）若满足，，且在区间上为单调函数，试求的最大值；
（2）若直线()与的图象相交，将其中三个相邻的交点从左到右依次记为，且满足()．当时，函数在区间上单调递增，试求的取值范围．

【推荐2】已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
(3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质，

【推荐3】若对于定义在上的连续函数，存在常数（），使得对任意的实数成立，则称是回旋函数，且阶数为.
（1）试判断函数是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；
（2）已知是回旋函数，求实数的值；
（3）若回旋函数（）在恰有100个零点，求实数的值.

【推荐1】等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：数列中的项都在数列中；
（3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面：当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式.

【推荐2】在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知数列的前n项和为，，且满足__________.
(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为.
（i）求；
（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【推荐3】已知等比数列中，公比，且分别为某等差数列的第5项， 第3项，第2项．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.