【推荐1】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.
   
(1)求出；
(2)归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式求的表达式；
(3)求证：.

【推荐2】数列 的前n项和，已知，，k为常数.
(1)求常数k和数列的通项公式；
(2)数列 的前n项和为，证明：

【推荐3】已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1﹣b_n＝a_n（n∈N^*），且b₁＝3，求数列的前n项T_n.

【推荐1】设数列满足：， ，.设为数列的前n项和，且，.
（I）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

【推荐2】公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．

【推荐3】已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若有，求证：

【推荐1】已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求

【推荐2】为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.

【推荐3】对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为１的周期数列，当时是周期为4的周期数列.
（1）设数列满足不同时为0），求证：数列是周期为6的周期数列，并求数列的前2012项的和；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足数列的前项和为，试问是否存在实数，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.