【推荐1】已知数列满足．
（Ⅰ）证明：对任意的为偶数；
（Ⅱ）设，证明：数列单调递减；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明：．

【推荐2】已知数列和满足.若为等比数列，且，，设，记数列的前n项和为.
（1）求；
（2）求正整数k，使得对任意均有.

【推荐3】已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设，，求的取值范围，使得对任意m，，，且.

【推荐1】已知为数列的前n项和，，且，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，证明：．

【推荐2】已知正项数列的前项和满足关系式.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明.

【推荐3】已知数列的前项和和通项满足（是常数且，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，试证明；
（3）设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【推荐2】设数列是各项均为正数的等比数列，.数列满足：对任意的正整数n，都有.
(1) 分别求数列与的通项公式．
(2) 若不等式对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
(3) 已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．设数列的前m项的和为T_m，试问：是否存在正整数m，使得T_m＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

【推荐3】已知数列满足，函数是定义在上的奇函数，且满足.
（Ⅰ）确定与的关系式，并求的解析式.
（Ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，且，是否存在实数，使得对于任意的，都有恒成立？若存在，求出的最大值.