【推荐1】设正项数列的前项和为，首项为1，数列是公差为（且）的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是递增数列；
（3）是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出的值和此时的取值范围；若不存在，说明理由.

【推荐2】在直角坐标平面上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．
（1）判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数，满足，求证：．

【推荐3】已知非零数列的递推公式为,.
(1)求证数列是等比数列；
(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值；
(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由.

【推荐1】已知数列的前项和是，，数列满足且．
（1）求和的通项公式；
（2）若，求的前项和及的最大值．

【推荐2】已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.
（1）若，求数列的前项和及的值；
（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.

【推荐3】已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且对任意n，恒成立．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

【推荐1】已知数列中 ，（）.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)（此问题仅理科作答）设，求证：.
（此问题仅文科作答）设, 求数列的最大项和最小项.

【推荐2】若数列 满足，则称为数列．记 ．
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，证明数列是递减数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列{a_n}满足，且．
(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐1】若数列满足，且存在常数，使得对任意的都有，则称数列为“k控数列”．
（1）若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；
（2）已知公比为的等比数列的前n项和为，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．

【推荐2】已知数列、分别满足，，且，，其中，设数列、的前项和分别为、；若数列满足：存在唯一的正整数，使得，则称数列为“坠点数列”．
(1)若数列、都为递增数列，求数列、的通项公式；
(2)若数列为“坠点数列”，求；
(3)若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知数列的首项为1.记.
（1）若为常数列，求的值：
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式：
（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出数列的通项公式：若不存在，请说明理由.