1 . 已知点
，其中
，且坐标原点O恰好为
的重心，判断
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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2021-07-21更新
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315次组卷
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2卷引用：全国高中数学联赛模拟试题（八）
2 . 已知
，圆
，过圆
上任意一点
作
的两条切线
、
，切点分别为
、
．试求
的最小值．
，圆，过圆上任意一点作的两条切线、，切点分别为、．试求的最小值．
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3 . 已知椭圆
的左焦点为，过的直线
交椭圆
于
两点，为左准线上一点，直线
的方向向量分别为
.
（1）求证：
成等差数列；
（2）能否成等比数列？试述理由.
的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，为左准线上一点，直线的方向向量分别为.（1）求证：
成等差数列；（2）
能否成等比数列？试述理由.
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4 . 已知双曲线
的离心率为
，右准线方程为
，
上的动点
处的切线与双曲线交于不同的两点
、
．证明：
．
的离心率为，右准线方程为，上的动点处的切线与双曲线交于不同的两点、．证明：．
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5 . 设、是直线
与椭圆
的两个交点，
为坐标原点.若
是锐角三角形，求
的取值范围.
、是直线与椭圆的两个交点，为坐标原点.若是锐角三角形，求的取值范围.
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6 . 给定正数
，设在同一平面上的两个非零向量
满足
，试求出夹角的取值范围．
，设在同一平面上的两个非零向量满足，试求出夹角的取值范围．
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7 . 已知半椭圆
，过一定点
作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点、
，其中，为坐标原点，
、
分别为椭圆的左、右焦点.
（1）求
的最小值；
（2）是否存在直线，使得
与
互相垂直?若存在，求出点、的横坐标；若不存在，请说明理由.
，过一定点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点、，其中，为坐标原点，、分别为椭圆的左、右焦点.（1）求
的最小值；（2）是否存在直线，使得
与互相垂直?若存在，求出点、的横坐标；若不存在，请说明理由.
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8 . 如图，正六边形
的中心为，对、、、
、、、这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量
.试求的概率分布列及其数学期望
.
的中心为，对、、、、、、这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量.试求的概率分布列及其数学期望.
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9 . 已知从有限个平面向量构成的集合中任取三个元素，其中总存在两个元素
，使得
.试求中元素个数的最大值.
中任取三个元素，其中总存在两个元素，使得.试求中元素个数的最大值.
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10 . 已知椭圆
的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、
两点.试判断是否存在直线，使得点是
的（1）重心；（2）垂心.若存在，求出对应的直线的方程;若不存在，请说明理由.
的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点.试判断是否存在直线，使得点是的（1）重心；（2）垂心.若存在，求出对应的直线的方程;若不存在，请说明理由.
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